高等数学分部积分法

1复习积分的方法1.直接积分法：2.换元积分法第一类换元法(也称凑微分法)第二类换元法(变形后用公式)第一类换元法CxF)]([回代)(xu令ux)(CuF)()(ufdu)(xgdx)]([xfd)]([x)]([xfdxx)(第二类换元法(易积)CtF)(1[()].FxC)(xfdx)(td)(tx令)(tf)(tdt)(tf)(1xt回代(易积)2§4-3分部积分法问题：2xeC回忆：？？)(xuu设函数及)(xvv具有连续导数.则)(uv移项vuuvvu)(则即即为分部积分公式作用：化难为易22dxxex22d()xexdxxexxxcosdxvudxvuvudvdudx.vuuv利用分部积分公式求积分的方法叫分部积分法.,vuvu3例1求积分xxedx.分析令,xeu22xv，)2(2xxdxd则xedudx,xxedx22d22xxxxeexvuvudvdu选择不当，,udv显然：令,xu则，xev于是.Cexexxdxexdv，du=dx,xxedx=xxexedx原则：合理地选取u和dv，v使du比udv积分更难进行易求.解4分析令,cosxu令,xu.cossinCxxx22xv则xvsin，)2(2xxdxd例2xxcos求积分dx.则xsindudx,cosdd,xxvdu=dx,xxcosdxxxxsinsindxxxcosdxxxxxsin2cos222dxvuvudvdu总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数(或使其降幂一次(假定幂指数是正整数).指数函数)的乘积,,u就考虑设幂函数为解5.41ln222Cxxx设,xuv？x1这时v求不出来.分析设,lnxu，221xv例3求积分xxlndx.xlndv，dx则du=dx,xdx=dv,则x1dudx,xxlndx)2(ln2xxd)ln21ln222xxxx(dxxxx121ln222dx原则：合理地选取u和dv，使v易求.解6例4求.darctanxxx分析设,xuv？211x这时v求不出来.设，xuarctan，221xv则du=dx,xdx=dv,则211xdudx，darctanxxx)2(darctan2xx)(arctand2arctan2122xxxxxxxxxd121arctan21222xarctandxdv,解7Cxxxx)arctan(21arctan212Cxxx21arctan)1(212)111(21arctan2122xxxdx若被积函数是幂函数和对数函数(或反三角函总结就考虑设对数函数(或反三角函数)数)的乘积，.u为xxxxxd121arctan212228注意：使用分部积分公式的关键：合理地将被积表达式分成u和dv，v使(1)duu比dv(2)v易求.若被积函数是幂函数和正(余)弦函数(或经验1：幂一次(假定幂指数是正整数)使其降就考虑设幂函数为u,指数函数)的乘积,经验2：就考虑设对数函数(或反三角函数)角函数)的乘积，若被积函数是幂函数和对数函数(或反三.u为易求.9解.161ln4144Cxxx44xv则例5.dln3xxx求积分3xdxdv,x1dx,duxxln3dxxxxx141ln4144dx,lnxu设10,2xu（再次使用分部积分法）则xev.)(22Cexeexxxx例6求积分xex2dx.xedxdv,du=2xdx,xex2dxxxxeex22dx)(22xxxexeexdx,xuxevxedxdv,du=dx,注：连续使用该公式时，u应为同类型的函数.解11解,arccosxuxv熟悉以后，可以去掉假设u,dv的过程.例7.darccosxx求积分dv=dx,则,d11d2xxuxxdarccos)(arccosdarccosxxxxxxxxxd1arccos2.1arccos2Cxxxuv2212)1d(arccosxxxx当被积函数是单一函数时，注：一般可看成被积函数自然分成了u和dv.12解.2ln2ln2Cxxxxxx2lndx例8求.dln2xx)(lnln22xxxxduvxxxxx1ln2ln2dxxxxln2ln2dxxlnCxxxlndxx2lndx13Cxxex)cos(sin21例9求xexsindx.xexsindx)sinxex(dxexexxcossindx)cossinxxexxe(d)sincos(sinxexexexxxdxxexxexxsin)cos(sindxxexsindx把类似于解方程求积分的方法(有区别),叫回归法.解14解.)cos(ln)sin(ln2Cxxxsin(ln)cos(ln)d[cos(ln)]xxxxxxxxxxx1)cos(ln)sin(lndx)(lncos)sin(lnxxxdx例10求)sin(lnxdx.)sin(lnxdx)]sin(ln)sin(lnxxxx[d)sin(ln)cos(ln)sin(lnxxxxdx)sin(lnxdx15.tansecln21tansec21Cxxxxx3secdx例11求x3secdx.xx2secsecdx)tansecxx(duvxxxxxtansectantansecdx)1(secsectansec2xxxxdxxxxxsecsectansec3dxdxxxxxx3sectanseclntansecdxx3secdx解16令,xt,2tx.)(2CeexxxCetett)(2dx=2tdt,例12xe求dx.xexdttetd2ttetd2tet2d)(2ttetedt解17例13.darcsin2xxx求积分解xxxdarcsin2)1d(arcsinxxxxarcsin1xxxd112xxxd112txsinttttcossindcosttdcscCttcotcscln,11ln2Cxxx则xxxdarcsin2xxarcsin1.11ln2Cxxx222111dd()11()1()1xxxxx也可这样求出来18解,2)(2xxexf222xex.2Cex)(xfxdx])(xfx[d)()(xfxxfdx,)(2Cexfxdx)(xfxdx)()(xfxxfdx已知)(xf的一个原函数是,2xe求)(xfxdx.例14两边同时对x求导，得19例15求)(xfxdx.解)(xfxdx)(xfxd)()(xfxfxdx.)()(Cxfxfx大家练习：已知)(xf的一个原函数是,sinxx求)(xfxdx.20211cossin1nnnInnxxnI注意循环形式思考题,dsinxxInn3Idxx3sindxxxxsin32cossin312.cos32cossin312Cxxx已知有递推公式21例16求.d1xexexx解被积函数是两类函数的乘积，所以用分部积分法原式=12xexxexd12xexd1又tex1tttd1222tttd112d22Cttarctan22Ceexx1arctan212所以原式=12xex.1arctan414Ceexx1d2xex1)d(1xxeex22例16求.d1xexexx另解原式=12xex.1arctan414Ceexx,1uex令则uuuuuud12)1ln()1(222uud)1ln(22uuuuud14)1ln(2222Cuuuuarctan44)1ln(22,d12d2uuuu23分部积分公式作用:小结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数(或vuvudvdu化难为易.合理地选取u和dv，v使(1)duu比dv(2)v易求.原则：经验1：幂一次(假定幂指数是正整数).使其降就考虑设幂函数为u,指数函数)的乘积,易求.24经验3：当被积函数是单一函数时，可自然看成分成了u和dv.注：把被积函数看成两函数之积,按“反对幂指三”的顺序,排在前面的为u,经验2：就考虑设对数函数(或反三角函数)角函数)的乘积，若被积函数是幂函数和对数函数(或反三.u为后面的为dv