2020年河南省郑州市中考数学一模试卷

试卷第1页，总21页2020年河南省郑州市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）1.−√3的相反数是（）A.√3B.−√3C.√33D.−√33【答案】A【考点】实数的性质【解析】根据相反数的定义解答即可．【解答】−√3的相反数是√3．2.华为𝑀𝑎𝑡𝑒 30 5𝐺系列是近期相当火爆的5𝐺国产手机，它采用的麒麟990 5𝐺芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管，将103亿用科学记数法表示为（）A.1.03×109B.10.3×109C.1.03×1010D.1.03×1011【答案】C【考点】科学记数法–表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，𝑛是正数；当原数的绝对值1时，𝑛是负数．【解答】103亿＝103 0000 0000＝1.03×1010，3.下列运算正确的是（）A.3𝑥−2𝑥＝𝑥B.3𝑥+2𝑥＝5𝑥2C.3𝑥⋅2𝑥＝6𝑥D.3𝑥÷2𝑥=23【答案】A【考点】整式的混合运算【解析】先根据合并同类项法则，单项式乘以单项式和单项式除以单项式进行计算，再判断即可．【解答】𝐴、结果是𝑥，故本选项符合题意；𝐵、结果是5𝑥，故本选项不符合题意；𝐶、结果是6𝑥2，故本选项不符合题意；𝐷、结果是32，故本选项不符合题意；试卷第2页，总21页4.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体𝐴放到小正方体𝐵的正上方，则它的（）A.左视图会发生改变B.俯视图会发生改变C.主视图会发生改变D.三种视图都会发生改变【答案】C【考点】简单组合体的三视图【解析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】如果将小正方体𝐴放到小正方体𝐵的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．5.如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵＝3，𝐵𝐶＝5．以点𝐶为圆心，适当长为半径画弧，交𝐵𝐶于点𝑃，交𝐶𝐷于点𝑄，再分别以点𝑃，𝑄为圆心，大于12𝑃𝑄的长为半径画弧，两弧相交于点𝑁，射线𝐶𝑁交𝐵𝐴的延长线于点𝐸，则𝐴𝐸的长是（）A.52B.53C.1D.2【答案】D【考点】角平分线的性质平行四边形的性质【解析】只要证明𝐵𝐸＝𝐵𝐶即可解决问题．【解答】∵由题意可知𝐶𝐸是∠𝐵𝐶𝐷的平分线，∴∠𝐵𝐶𝐸＝∠𝐷𝐶𝐸．∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴𝐴𝐵 // 𝐶𝐷，∴∠𝐷𝐶𝐸＝∠𝐸，∴∠𝐵𝐶𝐸＝∠𝐴𝐸𝐶，试卷第3页，总21页∴𝐵𝐸＝𝐵𝐶＝5，∵𝐴𝐵＝3，∴𝐴𝐸＝𝐵𝐸−𝐴𝐵＝2，6.郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是𝑥元，则可列方程为（）A.12000𝑥−5−10500𝑥=100B.10500𝑥−12000𝑥−5=100C.12000𝑥−10500𝑥−5=100D.10500𝑥−5−12000𝑥=100【答案】D【考点】由实际问题抽象为分式方程【解析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【解答】设科普类图书平均每本的价格是𝑥元，则可列方程为：10500𝑥−5−12000𝑥=100．7.2019年9月8日第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（）A.116B.112C.18D.16【答案】D【考点】列表法与树状图法【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和同时选中小李和小张的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】根据题意画图如下：试卷第4页，总21页共有12种等可能的结果数，其中同时选中小李和小张的有2种，则同时选中小李和小张的概率为212=16；8.已知有理数𝑎≠1，我们把11−𝑎称为𝑎的差倒数，如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12，如果𝑎1＝−2，𝑎2是𝑎1的差倒数，𝑎3是𝑎2的差倒数，𝑎4是𝑎3的差倒数，…，依此类推，那么𝑎2020的值是（）A.−2B.13C.23D.32【答案】A【考点】倒数规律型：图形的变化类规律型：点的坐标规律型：数字的变化类【解析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以−2，13，32依次循环，用2020除以3，再根据余数可求𝑎2020的值．【解答】∵𝑎1＝−2，∴𝑎2=11−(−2)=13，𝑎3=11−13=32，𝑎4=11−32=−2，……∴这个数列以−2，13，32依次循环，∵2020÷3＝673...1，∴𝑎2020的值是−2．9.用三个不等式𝑎𝑏，𝑎𝑏0，1𝑎1𝑏中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【考点】命题与定理【解析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【解答】①若𝑎𝑏，𝑎𝑏0，则1𝑎1𝑏；假命题：理由：∵𝑎𝑏，𝑎𝑏0，∴𝑎𝑏0，∴1𝑎1𝑏；试卷第5页，总21页②若𝑎𝑏0，1𝑎1𝑏，则𝑎𝑏，假命题；理由：∵𝑎𝑏0，∴𝑎、𝑏同号，∵1𝑎1𝑏，∴𝑎𝑏；③若𝑎𝑏，1𝑎1𝑏，则𝑎𝑏0，假命题；理由：∵𝑎𝑏，1𝑎1𝑏，∴𝑎、𝑏异号，∴𝑎𝑏0．∴组成真命题的个数为0个；10.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量𝑦（单位：𝑚3）与旋钮的旋转角度𝑥（单位：度）(0∘𝑥≤90∘)近似满足函数关系𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度𝑥与燃气量𝑦的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A.33∘B.36∘C.42∘D.49∘【答案】C【考点】二次函数的应用【解析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称𝑥的取值范围，从而可以解答本题．【解答】由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴𝑥18+542且𝑥54，∴36𝑥54，即对称轴位于直线𝑥＝36与直线𝑥＝54之间且靠近直线𝑥＝36，二、填空题（每小题3分，共15分）计算：(√3−1)0+(12)−2＝________．【答案】5【考点】试卷第6页，总21页零指数幂实数的运算零指数幂、负整数指数幂【解析】首先计算零次幂和负整数指数幂，然后再计算加法即可．【解答】原式＝1+4＝5．如图，五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸是正五边形．若𝑙1 // 𝑙2，则∠1−∠2=________∘．【答案】72【考点】多边形内角与外角平行线的判定与性质【解析】过𝐵点作𝐵𝐹 // 𝑙1，根据正五边形的性质可得∠𝐴𝐵𝐶的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得∠1−∠2的度数．【解答】解：过𝐵点作𝐵𝐹 // 𝑙1，如图：∵五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸是正五边形，∴∠𝐴𝐵𝐶=108∘，∵𝐵𝐹 // 𝑙1，𝑙1 // 𝑙2，∴𝐵𝐹 // 𝑙2，∴∠3=180∘−∠1，∠4=∠2，∴180∘−∠1+∠2=∠𝐴𝐵𝐶=108∘，∴∠1−∠2=72∘．故答案为：72.如果一元二次方程9𝑥2−6𝑥+𝑚＝0有两个不相等的实数根，那么𝑚的值可以为________．【答案】0【考点】根的判别式【解析】先利用判别式的意义得到△＝(−6)2−4×9𝑚0，再解不等式得到𝑚的范围，然后在试卷第7页，总21页此范围内取一个值即可．【解答】根据题意得△＝(−6)2−4×9𝑚0，解得𝑚1，所以𝑚可取0．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐴𝐶𝐸𝐷都是平行四边形，点𝑅为𝐷𝐸的中点，𝐵𝑅分别交𝐴𝐶，𝐶𝐷于点𝑃，𝑄．平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为6，则图中阴影部分的面积为________．【答案】54【考点】平行四边形的性质相似三角形的性质与判定【解析】由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐴𝐶𝐸𝐷都是平行四边形，易证得△𝐵𝐶𝑃∽△𝐵𝐷𝐸，△𝐴𝐵𝑃∽△𝐶𝑄𝑃∽△𝐷𝑄𝑅，又由点𝑅为𝐷𝐸的中点，可求得各相似三角形的相似比，继而求得答案．【解答】∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐴𝐶𝐸𝐷都是平行四边形，∴𝐴𝐷＝𝐵𝐶＝𝐶𝐸，𝐴𝐵 // 𝐶𝐷，𝐴𝐶 // 𝐷𝐸，∴平行四边形𝐴𝐶𝐸𝐷的面积＝平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积＝6，△𝐵𝐶𝑃∽△𝐵𝐷𝐸，△𝐴𝐵𝑃∽△𝐶𝑄𝑃∽△𝐷𝑄𝑅，∴△𝐴𝐵𝐶的面积＝△𝐶𝐷𝐸的面积＝3，𝐶𝑃:𝐸𝑅＝𝐵𝐶:𝐵𝐸＝1:2，∵点𝑅为𝐷𝐸的中点，∴𝐶𝑃:𝐷𝑅＝1:2，∴𝐶𝑃:𝐴𝐶＝𝐶𝑃:𝐷𝐸＝1:4，∵𝑆△𝐴𝐵𝐶＝3，∴𝑆△𝐴𝐵𝑃=34𝑆△𝐴𝐵𝐶=94，∵𝐶𝑃:𝐴𝑃＝1:3，∴𝑆△𝑃𝐶𝑄=19𝑆△𝐴𝐵𝑃=14，∵𝐶𝑃:𝐷𝑅＝1:2，∴𝑆△𝐷𝑄𝑅＝4𝑆△𝑃𝐶𝑄＝1，∴𝑆阴影＝𝑆△𝑃𝐶𝑄+𝑆△𝐷𝑄𝑅=54．如图，在矩形𝐴𝐵𝑀𝑁中，𝐴𝑁=1，点𝐶是𝑀𝑁的中点，分别连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，且𝐵𝐶=2，点𝐷为𝐴𝐶的中点，点𝐸为边𝐴𝐵上一个动点，连接𝐷𝐸，点𝐴关于直线𝐷𝐸的对称点为点𝐹，分别连接𝐷𝐹，𝐸𝐹．当𝐸𝐹⊥𝐴𝐶时，𝐴𝐸的长为________．试卷第8页，总21页【答案】√33或√3【考点】等边三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定矩形的性质轴对称的性质【解析】首先证明∠𝐶𝐴𝐵＝∠𝐶𝐵𝐴＝30∘．分两种情形画出图形分别求解即可．【解答】解：∵四边形𝐴𝐵𝑀𝑁是矩形，∴𝐴𝑁=𝐵𝑀=1，∠𝑀=∠𝑁=90∘，∵𝐶𝑀=𝐶𝑁，∴△𝐵𝑀𝐶≅△𝐴𝑁𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐵𝐶=𝐴𝐶=2，∴𝐴𝐶=2𝐴𝑁，∴∠𝐴𝐶𝑁=30∘，∵𝐴𝐵 // 𝑀𝑁，∴∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=30∘，①如图1中，当𝐷𝐹⊥𝐴𝐵时，∠𝐴𝐷𝐹=60∘，∵𝐷𝐴=𝐷𝐹，∴△𝐴𝐷𝐹是等边三角形，∴∠𝐴𝐹𝐷=60∘，∵∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐹𝐸=30∘，∴𝐸𝐹平分∠𝐴𝐹𝐷，∴𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，此时𝐴𝐸=√33．②如图2中，当△𝐴𝐸𝐹是等边三角形时，𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，此时𝐴𝐸=𝐸𝐹=√3．试卷第9页，总21页综上所述，满足条件的𝐴𝐸的值为√33或√3．故答案为：√33或√3．三、解答题（共75分）已知分式1−𝑚𝑚2−1÷(1+1𝑚−1)．（1）请对分式进行化简；（2）如图，若𝑚为正整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第________段上．（填写序号即可）【答案】原式＝1−𝑚𝑚2−1÷𝑚−1+1𝑚−1＝1−𝑚(𝑚+1)(𝑚−1)⋅𝑚−1𝑚＝1−1𝑚+1=𝑚+1−1𝑚+1=𝑚𝑚+