点电荷周围的电势计算

点电荷周围电势分布的计算无锡市第一中学高帆指导教师沈志斌电势是标量，空间某点的电势是各部分电荷在该点的电势的代数和。有这样一个容易解错的竞赛考题，涉及点电荷周围的电势计算，笔者分析如下。一个点电荷+q位于内半径为a，外半径为b的导电球壳的球心上，如图所示，求任意一点的电场强度E和电势U。解：在球壳内表面产生感应电荷-q，由于球壳原先不带电，所以球壳外表面相应地产生电荷+q。（1）电场强度)0()(0)(22arrqkbrabrrqkE（2）电势假设有一个很薄的导体球壳，半径为R，带电量q，则有：)()(RrrqkRrRqkU在该题中，可以将厚球壳划分为两个独立的部分，再加上中心电荷，共三个互不干涉的部分：I.半径为b，均匀带电+q的薄球壳II.半径为a，均匀带电-q的薄球壳III.中心点电荷+q。那么，任意一点的电势就是这三部分各自产生电势的标量叠加。①当r≥b时，rqkrqkrqkU；②当a≤r＜b时，bqkrqkrqkU；③当0＜r＜a时，bqkaqkrqkU即)0)(111()()(arbarkqbrabqkbrrqkU右边就是它的r-U图像。我们看到，它是一条完整的曲线。还可以用做功来解。这里的电场满足)0()(0)(22arrqkbrabrrqkE所以①距中心r(r≥b)处的电势：将带电量q’的粒子从距中心r(r≥b)处移动到无穷远处需做功rqkqWUrqqkrqqkdrrqqkWbrb''0''2②距中心r(a≤rb)处的电势：因为a~b之间均等势，所以bqkUUb③距中心r(0ra)处的电势：将带电量q’的粒子从距中心r(0ra)处移动到无穷远处需做功bbaar，因为a~b之间均等势，将这个带电粒子从a移动到b不需做功，所以)111(')111(')0'(0)''('0'000220barkqqWUbarkqqWbqqkaqqkrqqkWdrrqqkdrrqqkWaaabara综上所述，)0)(111()()(arbarkqbrabqkbrrqkU