11.9直线的斜率与直线的方程

第1课时直线的斜率及其方程1．直线的倾斜角与斜率(1)x轴的正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．我们规定直线与x轴平行或重合时的倾斜角为零度角，倾斜角的范围是.基础知识梳理0°≤α＜180°(2)斜率与倾斜角的关系：当一条直线的倾斜角为α时，斜率可以表示为，其中倾斜角α应满足的条件是．基础知识梳理k＝tanαα≠90°2．直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k＝.基础知识梳理y2－y1x2－x13．直线方程的几种形式基础知识梳理名称方程的形式已知条件局限性点斜式(x1，y1)为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋b基础知识梳理名称方程的形式已知条件局限性两点式(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)xa＋yb＝1y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2且y1≠y2)1．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为()三基能力强化A.13B．－13C．3D．－3答案：B2．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程是()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5答案：B三基能力强化3．下列四个命题中，假命题是()A．经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示三基能力强化答案：D三基能力强化C．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b4．若点P(3,4)，Q（a,b）关于直线x-y-1=0对称，则a+2b=三基能力强化5．(教材习题改编)一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝13x的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是________．答案：3x－y－23－3＝01．直线的倾斜角与斜率的关系课堂互动讲练考点一直线的倾斜角和斜率倾斜角0(0，π2)π2(π2，π)斜率取值0(0，＋∞)不存在(－∞，0)增减性递增递增课堂互动讲练2.求斜率的一般方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值根据k＝tanα来求斜率．3．利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线．提醒：斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论．课堂互动讲练课堂互动讲练例1已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．【思路点拨】先用斜率公式求出直线AB的斜率，然后利用三角函数公式求直线l的斜率．课堂互动讲练【解】法一：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，由题意知tan2α＝kAB＝－2－(－5)3－(－1)＝34.∴2tanα1－tan2α＝34，整理得3tan2α＋8tanα－3＝0，课堂互动讲练解得tanα＝13，或tanα＝－3.又∵tan2α＝340，∴0°2α90°，0°α45°.∴tanα0，∴tanα＝13.故直线l的斜率为13.课堂互动讲练法二：设直线AB的倾斜角为θ，则直线l的倾斜角为θ2.由题意知tanθ＝kAB＝－2－(－5)3－(－1)＝34.∵tanθ＝340，∴0°θ90°.∴sinθ＝35，cosθ＝45.∴tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝13.所以，直线l的斜率为13.【名师点评】在利用斜率公式时，要注意x1≠x2，若x1＝x2时，斜率不存在，不能再利用斜率公式．课堂互动讲练求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．课堂互动讲练考点二求直线的方程课堂互动讲练例2求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；【思路点拨】寻找确定直线的两个独立条件，根据不同的形式建立直线方程．课堂互动讲练【解】(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝35，∴cosα＝±45，直线的斜率k＝tanα＝±34.又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y＝±34x－5.课堂互动讲练(2)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.课堂互动讲练法二：由题意，所求直线的斜率存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.课堂互动讲练【规律总结】用待定系数法求直线方程的步骤：(1)设所求直线方程的某种形式．(2)由条件建立所求参数的方程(组)．(3)解这个方程(组)求参数．(4)把所求的参数值代入所设直线方程．利用直线方程解决问题，可灵活选用直线的形式，以便简化运算．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．课堂互动讲练考点三直线方程几种形式的灵活运用另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式．提醒：(1)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中要求直线的斜率存在．(2)“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0.课堂互动讲练课堂互动讲练例3如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x、y轴正半轴于A、B两点．(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．【思路点拨】求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式．由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：(1)点斜式：设l的方程为y－1＝k(x－2)，分别求出A、B的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；课堂互动讲练(2,1)代入得出a与b的关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件．(3)根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决．课堂互动讲练(2)截距式：设l的方程为xa＋yb＝1，将点课堂互动讲练【解】(1)法一：设l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－1k，0)，B(0,1－2k)，∴S△AOB＝12(2－1k)(1－2k)＝2＋12(－4k－1k)≥2＋12·2(－4k)(－1k)＝4，课堂互动讲练当且仅当－4k＝－1k，即k＝±12时取等号．∵k＜0，∴k＝－12，故所求直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.课堂互动讲练法二：设所求的直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由已知得2a＋1b＝1，于是2a·1b≤(2a＋1b2)2＝14.当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，2a·1b取最大值14，此时S△AOB＝12ab取最小值4.课堂互动讲练故所求的直线l的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.(2)设直线l：y－1＝k(x－2)(k＜0)，分别令y＝0，x＝0得A(2－1k，0)，B(0,1－2k)．由|PA|·|PB|＝(4＋4k2)(1＋1k2)＝8＋4(k2＋1k2)≥4.