关于“灰色预测模型”讲解

灰色模型研究组员：孙秀华09060722施更俊09060721王刚09060723王琰09060724吴凯09060726叶加彬09060729目录一、灰色模型的概述二、灰色模型建模三、例题灰色系统理论及起源1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特殊的要求和限制，因此应用领域十分宽广。不确定性方法的比较概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性。模糊数学着重研究“认知不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点问题，主要是凭经验借助于隶属函数进行处理。例：年轻人概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察“随机不确定”现象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型分布。灰色系统理论着重研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题，并依据信息覆盖，通过序列算子的作用探索事物运动的现实规律。其特点是“少数据建模”，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。例如：总人口控制在15亿到16亿之间。三种不确定性系统研究方法的比较分析项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列算子频率统计截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重点内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭经验灰色系统理论的研究与应用灰色系统理论的研究对象“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统。灰色系统理论的研究内容灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。灰色系统理论的应用领域农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学等。灰色系统的模型通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测。1.数据的预处理首先我们从一个简单例子来考察问题.【例】设原始数据序列}7,10,8,3,6{})(,),2(),1({)0()0()0()0(Nxxxx(1)(0)(1)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)6(2)(1)(2)639(3)(1)(2)(3)63+817(4)(1)(2)(3)(4)63+8+1027(5)(1)(2)(3)(4)(5)63+8+10+7xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，，，，34.对数据累加于是得到一个新数据序列(1){6,9,17,27,34}x归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成.显然有(1)(0)(1)(1).xx(1)(0)1{()1,2,}ijxixjiN（）可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成数列(1).x(1)x将上述例子中的(0)(1)xx，分别做成图7.1，图7.2.图7.2图7.1为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中)()1()()()0()1()1()1(ixixixix(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(5)(5)(4)34277(4)(4)(3)271710(3)(3)(2)1798(2)(2)(1)963(1)(1)(0)606.xxxxxxxxxxxxxxx，，，，归纳上面的式子得到如下结果：一次后减其中(0)1,2,...,(0)0.iNx，2.建模原理给定观测数据列经一次累加得(1)(1)dxaxudt+=})(,),2(),1({)0()0()0()0(Nxxxx})(,),2(),1({)1()1()1()1(Nxxxx设满足一阶常微分方程(1)x（7.1）（7.2）（7.3）其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对系统的常定输入.此方程满足初始条件(1)(1)00()ttxxt当时的解为0()(1)(1)0()().attuuxtxteaa(7.3)’对等间隔取样的离散值（注意到）则为(1)(1)(1)[(1)].akuuxkxeaa(7.4)灰色建模的途径是一次累加序列（7.2）通过最小二乘法来估计常数a与u.01t)1()1(x(1)(1)(1)(2),(3),...,()xxxN,1)1(ttt(1)(1)(1)(1)(0)(2)(2)(2)(1)(2),xxxxxt(1)(1)(0)(0)(3)()(3),...,().xxNxxNtt(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),(3)(3),..............................()().xaxuxaxuxNaxNuìï+=ïïïï+=ïïíïïïïï+=ïïî因留作初值用，故将用差分代替微分，又因等间隔取样，分别代入方程(7.3),类似地有于是，由式（7.3）有故得：)()1(iax(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)[(2),1](3)[(3),1]()[(),1]axxuaxxuaxNxNutx)1()1(x)()1(ix)()(ixi由于涉及到累加列的两个时刻的值，因此，取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将替换为把项移到右边，并写成向量的数量积形式(7.5)将（7.5）写为矩阵表达式(0)(0)(0)T((2),(3),,()).yxxxN(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12[(2)(1)]1(2)[(3)(2)]1(3).1[()(1)]1()xxxaxxxuxNxNxN令这里，T表示转置.令()()1[()(1)],(2,3,...,).2iixixiiN(7.6)(0)(0)(0)T((2),(3),,()).yxxxN(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12[(2)(1)]1(2)[(3)(2)]1(3).1[()(1)]1()xxxaxxxuxNxNxN(1)(1)12(1)(1)12(1)(1)12[(2)(1)]1[(3)(2)]1,,[()(1)]1xxaxxUuxNxN则(7.6)式的矩阵形式为BUy方程组(7.6)’，用最小二乘法估计为yBBBuaUTT1)(ˆˆˆ(7.6)＇(7.7)把估计值ˆˆau与代入（7.4）式得时间响应方程ˆ(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)ˆˆakuuxkxeaa1,2,,1kN当时，由(7.8)式算得的)1(ˆ)1(kx是拟合值；kN当时，)1(ˆ)1(kx为预报值.这是)1(x的拟合值，用后减运算还原，1,2,,1kN当时，就可得原始序列)0(x的拟合值(0)ˆ(1)xk；kN当时，可得原始序列)0(x预报值.(7.8)相对于一次累加序列3.精度检验(1)残差检验：分别计算（3）预测精度等级对照表，见表7.1.由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是，建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理.注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常微分方程（7.3）.4.GM(1,1)的建模步骤综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：例题销售额预测随着生产的发展、消费的扩大，市场需求通常总是增加的，一个商店、一个地区的销售额常常呈增长趋势.因此，这些数据符合建立灰色预测模型的要求。【例】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。表7.2逐年销售额（百万元）年份19992000200120022003序号123452.8743.2783.3373.3903.679【例】表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。)0(x解（1）由原始数据列计算一次累加序列结果见表7.3.表7.3一次累加数据)1(x年份19992000200120022003序号123452.8743.2783.3373.3903.6792.8746.1529.48912.87916.558)1(x)0(x（2）建立矩阵：yB,(1)(1)12(1)(1)12(1)(1)12(1)(1)124.5131[(2)(1)]17.82051[(3)(2)]111.1841[(4)(3)]114.71851[(5)(4)]1xxxxBxxxx(0)(0)(0)(0)TT[(2),(3),(4),(5)][3.278,3.337,3.390,3.679]yxxxx==谢谢观赏！有不足之处，请老师和同学指正。若有疑问之处，请课后交流！问题的提出:已知一组实验数求它们的近似函数关系y＝f(x).oyx需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型•根据数据点的分布规律•根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准)(iixfy•实验数据有误差,不能要求机动目录上页下页返回结束最小二乘法oyx偏差)(iiixfyr有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小min)]([20iinixfy为使所有偏差的绝对来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体机动目录上页下页返回结束特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b令min)(20bxayknkk),(baMaMbMbxay满足:使oyx得bxnkk0axnkk0解此线性方程组即得a,b称为法方程组机动目录上页下页返回结束例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为bxayoyt27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567机动目录上页下页返回结束得法方程组a140b28a285.2088b717解得,125.27,3036.0ba故所求经验公式为125.273036.0)(ttfyit0i2itiyiity70027.0074924.8137.628140208.5717.0机