点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法湖南省黄爱民赵长春已知点00(,)Pxy直线:0(0,0)lAxByCAB求点P到直线l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、定义法证：根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图1，设点P到直线l的垂线为'l，垂足为Q，由'll可知'l的斜率为BA'l的方程：00()ByyxxA与l联立方程组解得交点2200002222(,)BxAByACAyABxBCQABAB2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()BxAByACAyABxBCPQxyABABAxAByACByABxBCABABAAxByCBAxByCAxByCABABAB0022|||AxByCPQAB二、函数法证：点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点(,)Qxy用两点的距离公式有，为了利用条件0AxByC上式变形一下，配凑系数处理得：22220022222222000022000022000022000022()[()()]()B()()B()[()B()][()B()][()B()](B)(B0)|B|()()ABxxyyAxxyyAyyxxAxxyyAyyxxAxxyyAxyCAxyCAxyCxxyyAB当且仅当00()BAyyx（x）时取等号所以最小值就是0022||AxByCdAB三、不等式法证：点P到直线l上任意一点Q(,)xy的距离的最小值就是点P到直线l的距离。由柯西不等式：222222000000()[()()][()B()](B)ABxxyyAxxyyAxyC22000022|B|B0,()()AxyCAxyCxxyyAB当且仅当00()BAyyx（x）时取等号所以最小值就是0022||AxByCdAB四、转化法证：设直线l的倾斜角为过点P作PM∥y轴交l于M2图yxPQlMyxPQl3图MyxPQl1图'l11(,)xy显然10xx所以01AxCyb0000||||||AxCAxByCPMyBB易得∠MPQ＝（图2）或∠MPQ＝0180（图3）在两种情况下都有2222tantanAMPQB所以2221||cos1tanBMPQAB00002222||||||||cos||AxByCAxByCBPQPMMPQBABAB五、三角形法证：P作PM∥y轴交l于M，过点P作PN∥x轴交l于N（图4）由解法三知00||||AxByCPMB；同理得00||||AxByCPNA在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高002222||||||||||||AxByCPMPNPQPMPNAB六、参数方程法证：过点00(,)Pxy作直线0'0cos:sinxxtlyyt交直线l于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知||||tPQ，将'l代入l得00cossin0AxAtByBtC整理后得00||||...........(1)cossinAxByCtAB当'll时，我们讨论与l的倾斜角的关系：当为锐角时（tan0,AB不妨令A0,B0）有090（图2）2222222222tancossin1tan1||sincos1tanBAABABBBABAB当为钝角时（tan0,AB不妨令A0,B0）有090（图3）得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得000022222222||||||||AxByCAxByCtABABABAB七、向量法证：如图五，设直线:0(0,0)lAxByCAB的一个法向量(1,)BnA，Q直线上任意一点，则1010(,)PQxxyy。从而点P到直线的距离为：4图yxPQlMNyPnQlx图五101010102222110000112222|()||()()|||||1||||0,BxxyyAxxByynPQAdnBABAAxByAxByAxByCPAxByCdABAB点在直线l上,从而附：方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为AB（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d新疆学案王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,.所以，｜PＲ｜＝｜10xx｜＝ACByAx00｜PS｜＝｜20yy｜＝BCByAx00｜ＲS｜＝ABBAPSPR2222×｜CByAx00｜由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜新疆学案王新敞所以2200BACByAxd可证明，当A=0时仍适用新疆学案王新敞oxyldQSRP(x0,y0)