2011至2015年湖北省华师一附中自主招生数学试题(word含答案)

师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分考试时间120分钟题号[来源:学科网]一二三总分[来源:学科网]复核[来源:学科网]12345得分阅卷教师一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分面积与算式2131242的结果相同的是………………【】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【】①实数不是有理数就是无理数；②a＜a＋a；③121的平方根是±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A.1个B.2个C.3个D.43、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【】A、甲比乙更优惠B、乙比甲更优惠C、甲与乙相同D、与原标价有关4、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右则3121455xx。8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道。2321三、解答题（本大题6小题，共72分）1、（10分）在ABC中，ACAB，45A。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果1AD，求：BCDtan的值。2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。甲乙价格（万元／台）75每台日产量（个）10060⑴按该公司的要求，可以有几种购买方案？⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2AF，1BF。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADCB,对角线AC与BD交于O,60ACD,点SPQ、、分别是ODOABC、、的中点。求证：△PQS是等边三角形。5、（12分）如右图，直线OB是一次函数2yx的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。6、（14分）已知关于x的方程018)13(3)1(22xmxm有两个正整数根（m是整数）。△ABC的三边a、b、c满足32c，0822amam，0822bmbm。求：⑴m的值；⑵△ABC的面积。滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【】A、2πB、πC、32D、45、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则mn等于……………………………………………………………………………【】A、36B、37C、38D、39二、填空题（每小题6分，共48分）1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过小时，两人相遇。2、若化简16812xxx的结果为52x，则x的取值范围是。3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是。笔试实践能力成长记录甲908395乙889095丙9088904、已知点A是一次函数xy的图像与反比例函数xy2的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OBOA（O为坐标原点），则AOB的面积为。5、如果多项式212xpx可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是。6、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（01x），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是。7、已知12xx，为方程2420xx的两实根，则3121455xx。8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道。三、解答题（本大题6小题，共72分）1、（10分）在ABC中，ACAB，45A。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果1AD，求：BCDtan的值。2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。甲乙价格（万元／台）75每台日产量（个）10060⑴按该公司的要求，可以有几种购买方案？⑵若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2AF，1BF。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADCB,对角线AC与BD交于O,60ACD,点SPQ、、分别是ODOABC、、的中点。求证：△PQS是等边三角形。5、（12分）如右图，直线OB是一次函数2yx的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。6、（14分）已知关于x的方程018)13(3)1(22xmxm有两个正整数根（m是整数）。△ABC的三边a、b、c满足32c，0822amam，0822bmbm。求：⑴m的值；⑵△ABC的面积。师大附中2011年高一自主招生考试数学试题参考答案一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B二、1、22、41x3、甲、乙4、25、7,8,136、23(342)8xx7、78、20三1、有已知可得CDEADE和均为等腰直角三角形，计算得12BD，在直角三角形BCD中，12tanCDBDBCD。2、（1）设购买x台甲机器，则34)6(57xx，所以2x。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。（2）按方案①，所需资金3056（万元），日产量为360606（个）；按方案②，所需资金325571（万元），日产量为4006051001（个）；按方案③，所需资金为344572（万元），日产量为4406041002（个）。所以，选择方案②。3、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN＝x，PN＝y，则面积S＝xy，①因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得21)4(24xy，即yx210．代入①，得yyyyS102)210(2，即225)25(22yS．因为3≤y≤4，而y＝25不在自变量的取值范围内，所以y＝25不是最值点，当y＝3时，S＝12；当y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．此时，钢板的最大利用率是80％。4、连CS。∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，∴AO=BO,CO=DO.∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形.∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=12BC.同理BP⊥AC.在Rt△BPC中，PQ=12BC.又SP是△OAD的中位线，∴SP=12AD=12BC.∴SP=PQ=SQ.故△SPQ为等边三角形.QNMPAFBCDE5、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.设C1（,2xx），则得222(22)2xx，解得85x，得C1（816,55）若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.设C2（'',2xx），则得'2'22(2)2xx，解得'45x.得C2（245,555）又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（245,555）若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为12，得C4（1,12）.所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（816,55），（245,555），（245,555），C4（1,12）6、（1）方程有两个实数根，则012m，解方程得161mx，132mx．由题意，得11,2,3,6,11,3,mm即.4,2,5,2,1,0mm故2m．（2）把2m代入两等式，化简得0242aa，0242bb，当ba时，22ba．当ba时，a、b是方程0242xx的两根，而△＞0，由韦达定理得，4ba＞0，2ab＞0，则a＞0、b＞0．①ba，32c时，由于2222124162)(cabbaba故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝121ab．②22ba，32c时，因)22(232，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③22ba，32c时，因)22(2＞32，故能构成三角形．S△ABC＝22123(22)(3)91222综上，△ABC的面积为1或2129．华师大一附中2012年高中招生考试理科（数学）考试时间：120分钟卷面满分：200分AB