线性代数知识点总复习+习题课2

§2·2矩阵的运算定义１mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作,规定为nm,bB,aAijijABBA说明当两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.定义2矩阵A的负矩阵，记作–A.由此可定义矩阵的减法运算，设矩阵为称矩阵设矩阵，nmijnmijaaA则，，nmijnmijbBaAnmijijbaBABA矩阵的加法满足如下运算律（1）A+B=B+A（加法交换律）；设A,B,C,0都是同型矩阵:（2）(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律）；（4）A+(–A)=0.（3）A+0=0+A；设320011,112603BA求A+B与A–B.解例13(1)016020(1)(2216413)23AB3(1)016020(1)(2416231)12AB定义3以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵,称为数k与矩阵A的数量乘积，如果A=(aij)m×n,那么kA=Ak=(kaij)m×n.kA或Ak.简称数乘，记为.112222111211mnmmnnkakakakakakakakakaAkkA二、数与矩阵相乘A、B为同型矩阵，k，l为常数：运算律数乘运算有如下(2)()();klAklA(3)();kABkAkB(4)().klAkAlA结合律矩阵对数的分配律数对矩阵的分配律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.;0;1)1(AAA0例2求矩阵X，使3A+2X=3B。其中103421,321021BA解：由3A+2X=3B解得2X=3B-3A即)(23ABX所以32102110342123X22240223333603例设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算机，月产量（单位:台）为ⅠⅡⅢ271624182025A甲乙232221131211aaaaaa如果生产这三种型号的计算机每台的利润为(单位：万元／台)702050...BⅠⅡⅢ312111bbb求这两家公司的月利润(单位:万元).三、矩阵与矩阵相乘这两家公司的月利润应为(矩阵C):134129702720165024701820205025........C312321221121311321121111babababababaC乙公司的利润为34.1万元.甲公司每月的利润为29.1万元，即解其中从例题可以看到矩阵A、B、C的元素之间有下列关系:3123212211213113211211112111babababababaccC这种关系就是矩阵A与矩阵B的乘法.232221131211aaaaaaA312111bbbB，那么，设矩阵nsijsmijbBaA，nmijcC矩阵的乘积是一个矩阵Ａ与矩阵nmB定义4ｓｋ＝12211kjiksjisjijiijbabababac其中即C=AB.mnmjminijinjsnsjsnjnjmsmmisiiscccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaa111111122211111212111211i行j列关于矩阵乘法的说明：1、只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时，AB才有意义.2、乘积C的行数=第一个矩阵A的行数；C的列数=第二个矩阵B的列数.nmnssmCBA因为矩阵Ｃ=(AB)的元素cij是矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和.例3设321021A215402134321B求AB。解AB3210212154021343212×4501-4-5-114-2注：此题BA无意义，因为3243AB○○例4设,21naaaAnbbbB21,求AB。解：AB=naaa21nbbb21注：此题BA有意义,但BA=nbbb21naaa21nnbababa2211是一个数n×n11ba21banba112ba22banba2nnnnbababa21由以上两例，不难看出：（1）AB有意义时，BA不一定有意义；（2）即使AB与BA都有意义也可能然而对于个别矩阵也可能出现这时称A与B是可交换的.AB=BA，AB≠BA，矩阵乘法与实数乘法在运算规则上有一些不同归纳如下：矩阵乘法与实数乘法的比较：(1)实数乘法满足交换率。即ab=ba矩阵乘法不满足交换率。即AB≠BA(2)实数乘法满足消去率。即：若ab=ac,且a≠0,则有b=c矩阵乘法不满足消去率即：由AB=AC,且A≠O,不能得出B=C(3)在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O例5设1111A1111B解：,0000AB,2222BA.BAAB显然AB=O,但B≠O,且A≠O但也有例外，比如设,2002A,1111B则有,AB2222BA2222.BAAB例6设,010001A,011001B001001c求：AB,AC。解：AB01000101100110012EAC01000100100110012E注：此题AB=AC,且A≠O,但B≠C矩阵乘法的运算规律;1BCACAB,2ACABCBA;CABAACBBABAAB3（其中为数）;;4AEAAE若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且5nkAk个kkAAAA,AAAkmkm.mkkmAA为正整数km,.,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa按照矩阵的乘法，线性方程组的形式.mnbbbbxxxx2121,,mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211可表示为矩阵的乘积Ax=b其中定义5把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.AAA例,854221A;825241TA,618B.618TB１、转置矩阵四、矩阵的其它运算;1AATT;2TTTBABA;3TTAA.4TTTABAB矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算律(假设运算都是可行的)．,3412,543201BA已知.,)(TTTABAB求例8解19281116123412543201AB因为2162811119TAB）所（以24124216281303511119TTBA而且(AB)T=BTAT因此有设A为n阶方阵，如果AT=A，其特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.0211223113101101定义6aij=aji(i,j=1,2,…,n),那么称A为对称矩阵.即30但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.注意10两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵(A+B)T=AT+BT20对称矩阵与数的乘积也是对称矩阵.(kA)T=ATkTBAkA704131122111主要特点:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数.定义7设A为n阶方阵如果满足AT=–A,aij=–aji,即则称A为反对称矩阵.如032301210反对称矩阵的和及数量乘积还是反对称矩阵,但两个反对称矩阵的积不一定是反对称矩阵.注例9设列矩阵满足TnxxxX,,,21,1XXT.,,2,EHHHXXEHnETT且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明TTTXXEH2TTTXXE2,2HXXET.是对称矩阵H2HHHT22TXXETTTXXXXXXE44TTTXXXXXXE44TTXXXXE44.E思考题2222?BABABA问等式阶方阵为与设,nBABABABA22成立的充要条件是什么?1.2.例10证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明TAAC设TTTAAC则AAT,C所以C为对称矩阵.,TAAB设TTTAAB则AAT,B所以B为反对称矩阵.22TTAAAAA,22BC命题得证.2、方阵的行列式定义8由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或nAAA.detA8632A例8632A则.2运算性质;1AAT;2AAn;3BAAB.BAAB.1E,33323123222113121133kakakakakakakakakakA33323123221213121133kakakakakakakakakakA.3333332312322211312113Akaaaaaaaaak例如练习：设A与B为同阶对称阵，且AB也对称，证明AB=BA。证明：.BAABABABTTT思考题解答答,22BABBAABABA故成立的充要条件为BABABA22.BAAB