海南2014高考数学卷(带解析)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合0,1,2M，2=320Nxxx，则MN(A)1(B)2(C)0,1(D)1,2解析：∵2=32012Nxxxxx，∴MN1,2答案：D（2）设复数1z，2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，12iz，则12zz(A)5(B)5(C)4i(D)4i解析：∵12iz，∴22iz，∴2212(2i)(2i)i25zz答案：A（3）设向量a，b满足10ab，6ab，则=ab(A)1(B)2(C)3(D)5解析：∵10ab，6ab，∴2()10ab……①，2()6ab……②．由①②得：1=ab答案：A（4）钝角三角形ABC的面积是12，1AB，2BC，则AC(A)5(B)5(C)2(D)1解析：∵1||||sin2ABCSABBCB，即：1112sin22B，∴2sin2B，即45B或135．又∵222||||||2||||cosACABBCABBCB∴2||1AC或5，又∵ABC为钝角三角形，∴2||5AC，即：5AC答案：B（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A)0.8(B)0.75(C)0.6(D)0.45解析：此题为条件概率，所以0.60.80.75P答案：A（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(A)1727(B)59(C)1027(D)13解析：原来毛坯体积为：223654(cm)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为：222243234(cm)，则切削掉部分的体积为2543420(cm)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427答案：C（7）执行右面的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S(A)4(B)5(C)6(D)7结束输出S1M，3S开始输入x，t1kktMMxkSMS1kk是否解析：输入的x，t均为2．12是，1221M，235S，112k；22是，2222M，257S，213k，32否，输出7S答案：D（8）设曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx，则a(A)0(B)1(C)2(D)3解析：∵1'1yax，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201xya，即3a答案：D（9）设x，y满足约束条件70310350xyxyxy，则2zxy的最大值为(A)10(B)8(C)3(D)2解析：作出x，y满足约束条件70310350xyxyxy表示的平面区域如图阴影部分：做出目标函数0l：2yx，∵2yxz，∴当2yxz的截距最小时，z有最大值。∴当2yxz经过C点时，z有最大值。由31070xyxy得：(5,2)C此时：z有最大值2528答案：B（10）设F为抛物线C：23yx的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为(A)334(B)938(C)6332(D)94解析：∵3(,0)4F，设11(,)Axy、22(,)Bxy，∴直线AB的方程为33()34yx，代入抛物线方程得：22190216xx，∴12212xx，12916xxxO310xy70xy350xy0l1l2l12ABCy由弦长公式得221212||(1)[()4]12ABkxxxx由点到直线的距离公式得：O到直线AB的距离2233|00|33483()(1)3d∴13912284OABS答案：D（11）直三棱柱111ABCABC中，90BCA，M，N分别是11AB，11AC的中点，1BCCACC，则BM与AN所成角的余弦值为(A)110(B)25(C)3010(D)22解析：如图所示，取BC的中点P，连结NP、AP∵M，N分别是11AB，11AC的中点，∴四边形NMBP为平行四边形，∴BMPN∴所求角的余弦值等于ANP的余弦值不妨令12BCCACC，则5ANAP6NPMB，∴222222||||||(5)(6)(5)30cos2||||10256ANNPAPANPANNP答案：C（12）设函数()3sinxfxm．若存在()fx的极值点0x满足22200[()]xfxm，则m的取值范围是(A)(,6)(6,)(B)(,4)(4,)(C)(,2)(2,)(D)(,1)(1,)解析：∵'()3cosxfxmm，令'()3cos0xfxmm得：1()2xmkkZ∴01()2xmkkZ，又∵22200[()]xfxm，∴22221()[3sin()]22mkkm即：2213[1()]2mk，∴211()02k，故：0kACB1A1C1BNMP∴2213[1()]2m，即：24m，故：2m或2m答案：C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）10()xa的展开式中，7x的系数为15，则a．（用数字填写答案）解析：∵10110rrrrTCxa，∴107r，即3r，∴373741015TCxax，解之：12a答案：12（14）函数()sin(2)2sincos()fxxx的最大值为．解析：∵()sin(2)2sincos()sin[()]2sincos()fxxxxxsincos()cossin()2sincos()cossin()sincos()sinxxxxxx∴()fx的最大值为1答案：1（15）已知偶函数()fx在[0,)单调递减，(2)0f．若(1)0fx，则x的取值范围是．解析：∵()fx是偶函数，∴(1)0(1)0(2)fxfxf，又∵()fx在[0,)单调递减，∴12x，解之：13x答案：(1,3)（16）设点0(,1)Mx，若在圆O：221xy上存在点N，使得45OMN，则0x的取值范围是．解析：由图可知点M所在直线1y与圆O相切，又1ON，由正弦定理得：sinsinONOMOMNONM∴1sin22OMONM，即：2sinOMONMxyMON又∵0ONM，∴2OM，即2012x，解之：011x答案：[1,1]三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知数列na满足11a，131nnaa．（Ⅰ）证明1{}2na是等比数列，并求na的通项公式；（Ⅱ）证明1211132naaa．解析：（Ⅰ）证明：∵131nnaa，∴1113()22nnaa，即：11231()2nnaa又11322a，∴1{}2na是以32为首项，3为公比的等比数列．∴113322nna，即312nna（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知312nna，∴1121()313nnnnaN*∴21211()11111131331[1()]133323213nnnnaaa故：1211132naaa（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB平面AEC；（Ⅱ）设二面角DAEC为60，1AP3AD，求三棱锥EACD的体积．解析：（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结OE．∵底面ABCD为矩形，∴点O为BD的中点，又E为PD的中点，∴OEPB∵OE平面AEC，PB平面AEC，∴PB平面AEC（Ⅱ）以A为原点，直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标PBCDEA系，设ABa，则(0,3,0)D，(0,0,0)A，31(0,,)22E，(,3,0)Ca，∴31(0,,)22AE，(,3,0)ACa，设(,,)nxyz是平面AEC的法向量，则3102230nAEyznACaxy，解之：33ayxzy，令3x，得(3,,3)naa又∵(,0,0)ABa是平面AED的一个法向量，∴231cos,cos60234aABnaa，解之32a∴11111313||||||332232228EACDVADCDAP（19）（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，aybt．解析：（Ⅰ）由题意得：4t，2.93.33.64.44.85.25.94.37y∴2222222(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.60.5(3)(2)(1)0123b∴4.30.542.3aybt故：所求线性回归方程为：0.52.3yt（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程的斜率0.50k可知，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加．令9t得：0.592.36.8y，故：预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。（20）（本小题满分12分）设1F，2F分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左，右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直．直线1MF与C的另一交点为N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MNFN，求a，b．解析：（Ⅰ）由题意得：1(,0)Fc，2(,)bMca，∵MN的斜率为34∴2324bac，又222abc，解之：12cea或2（舍）故：直线MN的斜率为34时，C的离心率为12（Ⅱ）由题意