关于房价问题数学建模分析

1论文题目:房价问题的数学建模学院:工学院专业:水利水电工程姓名:冯尚权学号:2012096011完成日期:2014年1月2日2摘要近几年，我国出台了一系列事关民生国情的利民政策，但房价的持续增高仍让很多人把买房当成了一种奢望。本文根据题目要求，进行了合理假设，主要从影响房价的因素方面考虑，建立相应数学模型，根据数据分析了我国当前房价的合理性，预测房价未来走势，提出具体措施使房价回归合理，并进行定量分析。分析题目，我们分为三个问题进行讨论建模：问题一，房价合理性评判；问题二，未来房价走势；问题三，房价的应对及建议。问题一中针对各代表性城市现今房价是否合理的问题，我们以代表性城市上海、西安为例，做出合理的假设，采用了经济学领域的关于正态分布的模型，评定房价的合理性。最后我们认为2008年以来上海高速增长的房价是不合理的；而西安虽然房价在不断上涨，但城市居民收入水平也有了比较大的提高，其增长比例基本还能维持协调，故西安的房价比较稳定合理。问题二，利用了灰色马尔科夫预测对未来两年的具有代表性的几个城市的房价进行了定量的预测，从而得出这样的结论：西安房价增长相对来说较为平稳，涨幅不大；有较明显上升趋势的是成都和徐州的房价，在未来几年里，成都、徐州、西安的房价大致在5000元左右；而北京、上海的房价，从10年起有很明显的上升趋势，而且涨幅在8000～10000元左右，若没有国家政策等特别因素影响，未来两年里，仍然会呈现出持续增高的趋势，并且涨幅不会低于8000元。问题三，主要就针对现实的房价问题对社会造成的影响及提出了一些建设性的意见。关键词：房价升高数学模型正态分布模型灰色马尔科夫预测城市房价GDP国民经济一．问题重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。二、问题分析题目要求依据建筑成本、居民收入等影响房价变化的因素，对具有代表性城市的房价进行合理性定量评估并定量预测房价未3来走势、控制合理房价的措施和对经济发展的影响。我们将问题进行分述如下三个部分，并对其分别建模：2-1房价合理性分析模型考虑评判房价的合理性，我们首先想到与房价密切相关的各种因素，认为房屋的合理定价应该由房屋所在城市的经济发达程度、环境优美度、居民归属感等生活标准来反应，而这些项目又有很多是难以量化的指标，因此我们采用了城市居民年人均收入刻画生活标准。房屋的价格应该满足本市居民的居住需要，于是这部分我们没有引入投资等市场因素。2-2房价未来走势模型本问是对房价的走势进行估计和预测。房地产价格的高低涉及社会生活中多方面的经济利益,也是百姓生活中关注比较多､比较重要的问题之一｡较为准确地预测未来房地产的销售价格,对社会经济发展和人民生活极其重要,可以为经济决策提供参考,故其研究意义相当重大｡经分析可知，本问要用到相关的数学模型为华中科技大学控制科学与工程系,教授，博士生导师邓聚龙于1982年提出的灰色模型，据大量学者的经验表明，该预测模型的算法可以提高预测的精度。灰色模型的定义如下：如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。具有灰色性的系统称为灰色系统。在灰色系统理论中，利用较少的或不确切的表示灰色系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立的，用以描述灰色系统内部事物连续变化过程的模型，称为灰色模型，简称GM模型。灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据，而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性2-3后期房价应对模型要求我们根据前面的分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响。提出控制房价使之合理的措施，涉及到影响房价的具体因素。三、数学模型的建立及求解模型假设：引起房地产市场波动的因素有很多，居民收入、供求比例、空置率、货币政策、建设成本、国家政策和人口结构及变化趋势等众多因素。我们从中提取重要因素对次要因素作出如下假设：1城市消费状况用人均收入来代替。2忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对住房价格的影响。3政府宏观调控政策，仅考虑税收政策、货币政策、土地政策的影响。忽略其他政策的影响。4在同一地区房价为销售均价，没有街道区域差异。6根据经济发展状况分别对部分城市来概括全国城市的房屋均价，排除特殊情况。43-1城市房价合理性模型建立及分析符号说明：esM:单位面积商品房售价Sqr:当地人均住房居住面积eT:预期使用当年全年收入归还房贷所需年数rM:购买商品房支付的总价eS:当地人均年收入rM=esM*Sqr模型建立若以当地人均年收入eS作为人口收入正态分布模型的x=0，人均年收入的2n倍定为x=n，则x~N(0,1)，函数图象如图3-1(a)所示。图3-1（a）令Te年内可用全年工资购买人均住房面积住房的下限倍率为Br。根据假设及上述，得出Br：52log()esreeMSqrBTSP=1()rB一．以上海市区居民购房为例（数据见表3-1-1）表3-1-1令能够使用Te年全年收入购买人均住房面积住房的人口比例为P，假设5年为合理还贷期，通过查阅标准正态分布表，得到的年份、Br值及P值如表3-1(a)所示。年份住房面积（2m）商品房销售均价(元每平方米)人均年收入(元)200213.1553913250200313.8603214867200414.8664017175200515.5695218645200616810220668200716.51029323623200816.91365926675200917.21546728838201017.81916831838年份BrP20020.1310.44820030.1630.43520040.1950.42320050.2080.41720060.3270.37220070.5230.29820080.7910.21420090.8840.18920101.10.1366表3-1-1(a)从表中可以看出，从2002年以来，在不计算贷款利率及房产税率的情况下，能够用5个整年工资来购买人均住房面积住房的上海市区居民的比例一直低于50%，并且每年都呈下降趋势，特别是在2006年炒房潮爆发以后，比例加速下降，直到2010年竟然下降到13.6%。作者查询了相关的资料，发现加拿大等欧美国家的房屋均价折合成人民币和上海现在的房价相差无几，但收入水平却远高于上海市民的收入水平，于是造成了加拿大居民和上海居民的生活水平的巨大差距。同时，资料显示，加拿大中产阶级房屋贷款限额是年收入的3倍，这个比例对于上海中产阶级来说，可能都难以支付房屋购买的首付。随着上海的发展及其成为了亚洲第一大港，房屋价值的增长也是正常的现象，但房屋价格的高速增长不符合上海本地居民的人均收入水平，因此我们认为2006年以来上海高速增长的房价是不合理的。二．以兰州市区居民购房为例（数据如表3-1-2所示）表3-1-2兰州市区居民购房情况表采用了2008至2009年度的数据。同样以五年作为合理还贷期，计算得到表3-1-2(a)。表3-1-2(a)从表中我们可以看到，兰州的房价从2008年到2010年有上涨，但是城市居民收入水平也有了比较大的提高，使得能够使用5年全年工资还清购房债务的人口比例保持稳定并有所上升。这说明兰州的房价比较稳定合理。三．结果分析对房价合理性的分析应该从当地居民能够用合理的资金购买到合理面积、合理地段住房的角度入手，而不像房价预测一样需要考虑市场等因素，因此我们选取了人均收入和人均住房居住面积来刻画某地房价的合理性。经过我们对各类型城市通过建立的模型进行分析，如果某地区能够用5年当年全年工资购买当地人均住房居住面积住房的居民的比例小于1/3，则说明该城市的房市已经出现过热（房价收入比已经大于6），房价不合理。年份住房面积单位面积住宅销售价格兰州市人均年收入200817.0439715207200917.6491318963201018.2539821807年份BrP2008-0.020.5082009-0.1330.5532010-0.150.56733--2.未来房价变化的灰色预测模型模型假设本模型不考虑未来突发事件，如经济低迷或举办大型活动，如奥运会、世博会等因素对房价产生的影响。城市年平均房价的预测为基于历史情况的变化。不考虑政府政策调控引起房价的大起伏变化符号说明x1：居民收入（单位：元）；x2：人均GDP（单位：元）；x3：土地均价（单位：元/m2）;x4：房地产商营业利润（单位：万元）；模型的建立根据计量经济学观点，基于灰色马尔科夫预测可以得到房价关于时间变化的模型[1]。设(0)x是n维非负序列，(1)x为(0)x的1-AGO序列，)1(z为(1)x的紧邻均值生成序列，[a,u]T=yBBT1T)B（,则GM（1,1）模型bax)1((1)dtdx为灰色方程bkazk)()(x)1((0)的白化方程，其中，)()(1)0()1(ixkxki；k=1,2，…，n；njjxjxjznzzzz,3,2,)1()()(,)(),3(,2)1()1(21)1()1()1()1()1(；y=Tnxx)(,),3(),2(x)0()0((0),B=1)(11)3(1)2(z-)1()1((1)nzzGM(1,1)灰色微分方程的响应序列为：nkabeabxkxak.,2,1,)0()1(ˆ)1()1(利用最小二乘法估计参数a,b后，代入上式进行数据还原即得预测值：8)(ˆ)1(ˆ)1(xˆ)0()1((0)kxkxk这反映了原始数据的总体变化趋势。利用GM(1,1)模型最终可以得到房价的变化趋势，进而求得未来房价走势。模型的求解通过查找资料得到各地的房价数据：年份成都（元）上海（元）北京（元）西安（元）徐州（元）2001116143004715.93270174320021226468844673390187520031436511845823360227820041572638547513470262620051978.66669867763485230020062196.4862762323510300020072462.315000151623720336020083187.4114099132224460360020093523.5615404150514720450020104324.13191682231051304632表3-2-1：01－10年代表性城市房价均价基于灰色马尔科夫预测预测房价根据已建立模型，依据表9数据，得到预测结果和预测图像：成都（元）上海北京西安徐州原始预测原始预测原始预测原始预测原始预测11611161430043004715.94715.9327032701743174312261238.74946883406.90544672502.29333903338.36518751948.66814361425.0151184438.48545823392.60233603397.23422782162.79815721639.27763855782.41847514599.6834703457.1412626240