等差数列经典题

2.3等差数列经典题型一、选择题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于()A．nB．n2C．2n＋1D．2n－1答案D2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2B．－1C．0D．1答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k为()A．9B．8C．7D．6答案B解析由an＝S1，n＝1Sn－Sn－1，n≥2，∴an＝2n－10.由52k－108，得7.5k9，∴k＝8.4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A.310B.13C.18D.19答案A解析方法一S3S6＝3a1＋3d6a1＋15d＝13⇒a1＝2d，S6S12＝6a1＋15d12a1＋66d＝12d＋15d24d＋66d＝310.方法二由S3S6＝13，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以S6S12＝310.5．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S6，S6＝S7S8，则下列结论错误的是()A．d0B．a7＝0C．S9S5D．S6与S7均为Sn的最大值答案C解析由S5S6，得a6＝S6－S50.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d0.由S7S8⇒a80，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)0即S9S5.6．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5答案D解析anbn＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝7n＋1＋12n＋1＝7＋12n＋1，∴n＝1,2,3,5,11.二、填空题7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N*)，则通项an＝________.答案2n－28．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．答案169解析方法一利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋172×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋n2(n－1)×(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二先求出d＝－2，因为a1＝250，由an＝25－2n－1≥0，an＋1＝25－2n≤0，得n≤1312，n≥1212.所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.方法三由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－20，又因为a10，所以a130，a140，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋13×13－12×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.答案10解析由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.由Sn＝na1＋an2＝31n2＝155，得n＝10.10．等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．答案10或11解析方法一由S9＝S12，得d＝－110a1，由an＝a1＋n－1d≤0an＋1＝a1＋nd≥0，得1－110n－1≥01－110n≤0，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二由S9＝S12，得d＝－110a1，由Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋a1－d2n，得Sn＝－120a1·n2＋2120a1·n＝－a120n－2122＋44180a1(a10)，由二次函数性质可知n＝212＝10.5时，Sn最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，可解得a1＝9，d＝－2，所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋nn－12d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解由S2＝16，S4＝24，得2a1＋2×12d＝16，4a1＋4×32d＝24.即2a1＋d＝16，2a1＋3d＝12.解得a1＝9，d＝－2.所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝－n2＋10nn≤5，n2－10n＋50n≥6.能力提升13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是()A．Snna1nanB．Snnanna1C．na1SnnanD．nanSnna1答案C解析：方法一由an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，解得an＝5－4n.∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，∴nan＝5n－4n2，∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)0.Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n0.∴na1Snnan.方法二∵an＝5－4n，∴当n＝2时，Sn＝－2，na1＝2，nan＝－6，∴na1Snnan。14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S120，S130.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解(1)根据题意，有：12a1＋12×112d0，13a1＋13×122d0，a1＋2d＝12，整理得：2a1＋11d0，a1＋6d0，a1＋2d＝12.解之得：－247d－3.(2)∵d0，而S13＝13a1＋a132＝13a70，∴a70.又S12＝12a1＋a122＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)0，∴a60.∴数列{an}的前6项和S6最大．1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a10，d0，an≥0，an＋1≤0时，Sn取得最大值；当a10，d0，an≤0，an＋1≥0时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．