2016-2017学年高一数学人教版必修1课件：2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用(习题课

第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)1．对数函数的定义是什么？2．对数函数的定义域和值域分别是什么？3．对数函数的图象与底数a之间有什么关系？4．对数函数的单调性与底数a之间有什么关系？5．对数函数y＝logax的图象与指数函数y＝ax的图象之间有什么关系？所过定点的坐标是什么？略略略略略对数值的大小比较[例1](1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b(2)(天津高考)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．abcB.bacC．acbD．cba[解析](1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log33＜log32＜log33，log51＜log52＜log55，log23＞log22，∴12＜a＜1，0＜b＜12，c＞1，∴c＞a＞b.(2)利用中间量比较大小．因为a＝log2π∈(1,2)，b＝log12π＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.[答案](1)D(2)C[类题通法]比较对数值大小的方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底数后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较．(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．[活学活用]比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.解：(1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.32，所以ln0.3ln2.(2)当a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又因为3.15.2，所以loga3.1loga5.2；当0a1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又因为3.15.2，所以loga3.1loga5.2.(3)因为0log0.23log0.24，所以1log0.231log0.24，即log30.2log40.2.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π3，所以log3πlog33＝1.同理，1＝logππlogπ3，所以log3πlogπ3.求解对数不等式[例2](1)已知loga121，则a的取值范围为________．(2)已知log0.72xlog0.7(x－1)，则x的取值范围为________．(3)当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是________．[解析](1)由loga121得loga12logaa.①当a1时，有a12，此时无解．②当0a1时，有12a，从而12a1.∴a的取值范围是12，1.(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72xlog0.7(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1，即x的取值范围是(1，＋∞)．[答案](1)12，1(2)(1，＋∞)(3)22，1(3)易知0＜a＜1，则函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示，则只需满足loga12＞2，解得a＞22，∴22＜a＜1.[类题通法]常见对数不等式的解法常见的对数不等式有三种类型：(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解．[活学活用]若a0且a≠1，且loga(2a＋1)loga3a0，求a的取值范围．解：不等式可化为loga(2a＋1)loga3aloga1，等价于a1，2a＋10，2a＋13a，03a1或0a1，2a＋13a，3a1，解得13a1，即a的取值范围为13，1.对数函数性质的综合应用[例3](1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是()A．y＝x－1B．y＝3|x|C．y＝log3xD．y＝log23x(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a1)．①求f(x)的定义域和值域；②判断并证明f(x)的单调性．[解](1)选Dy＝x－1在定义域内不是单调函数；y＝3|x|为偶函数；y＝log3x既不是奇函数也不是偶函数，故A，B，C均不正确．又∵log23－x＝log2(3x)－1＝－log23x，log23x的定义域为R，∴函数y＝log23x为奇函数．又∵y＝log23x在(－∞，＋∞)上为增函数，∴选D.(2)①由a1，a－ax0，即aax，得x1.故f(x)的定义域为(－∞，1)．由0a－axa，可知loga(a－ax)logaa＝1.故函数f(x)的值域为(－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1x1x2，又∵a1，∴ax1ax2，∴a－ax1a－ax2，∴loga(a－ax1)loga(a－ax2)，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数．[类题通法]解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[活学活用]已知函数f(x)＝loga(3－ax)，(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax0对x∈[0,2]恒成立，且a0，a≠1.设g(x)＝3－ax，则g(x)在[0,2]上为减函数，∴g(x)min＝g(2)＝3－2a0，∴a32.∴a的取值范围是(0,1)∪1，32.(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝32.此时f(x)＝log323－32x.但x＝2时，f(x)＝log320无意义．故这样的实数a不存在．[典例](12分)已知x满足不等式－3≤log0.5x≤12，求函数f(x)＝log2x2·log2x4的最值．7.对数函数与方程、不等式的综合问题[解题流程][活学活用]设x∈[2,8]，函数f(x)＝12loga(ax)·loga(a2x)的最大值是1，最小值是－18，求a的值．解：f(x)＝12(logax＋1)·(logax＋2)＝12[(logax)2＋3logax＋2]＝12logax＋322－18，由题设，∵f(x)min＝－18，这时logax＝－32，又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．∵f(x)是关于logax的二次函数，∴函数最大值必在x＝2或x＝8时取得．若12loga2＋322－18＝1，则a＝232.取得最小值时x＝（21-3）32＝22，这时x∈/[2,8]，舍去．若12loga8＋322－18＝1，则a＝12，此时取得最小值时x＝1232＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.[随堂即时演练]解析：由于b＝log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.答案：D1．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c解析：已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．答案：D2．函数f(x)＝lg|x|为()A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数3．不等式log12(2x＋1)log12(3－x)的解集为________．解析：由题意2x＋10，3－x0，2x＋13－x⇒x－12，x3，x23⇒－12x23.答案：x－12x234．设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________.解析：∵a1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，∴loga(2a)－logaa＝12，即loga2＝12，∴a12＝2，∴a＝4.答案：45．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中a0且a≠1，设h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(3)＝2，求使h(x)0成立的x的集合．解：(1)∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x－1}，g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x－1}∩{x|x1}＝{x|－1x1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，∴h(x)0等价于log2(1＋x)log2(1－x)，∴1＋x1－x，1＋x0，1－x0，解得－1x0.故使h(x)0成立的x的集合为{x|－1x0}．