2013届高考数学一轮复习讲义：13.5 数学归纳法 2

一轮复习讲义数学归纳法数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们可以用数学归纳法：如果(1)当n取第一个值n0(n0∈N*)时，结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且n≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．要点梳理忆一忆知识要点[难点正本疑点清源]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．例1求证：12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16.用数学归纳法证明等式证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1·1＋12＋16＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12＋22＋…＋k2＝kk＋12k＋16，则当n＝k＋1时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝kk＋12k＋16＋(k＋1)2＝k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1]6所以当n＝k＋1时，等式仍然成立．由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．探究提高是否存在常数a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(an2＋bn＋c)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．变式训练1解假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(an2＋bn＋c)中，令n＝1，得4＝16(a＋b＋c)①令n＝2，得22＝12(4a＋2b＋c)②令n＝3，得70＝9a＋3b＋c③由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10，于是，对于n＝1,2,3都有1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(3n2＋11n＋10)(*)式成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立．(1)当n＝1时，由上述知，(*)式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，(*)式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk＋112(3k2＋11k＋10)，那么当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝k＋1k＋212(3k2＋5k＋12k＋24)＝k＋1k＋212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，由此可知，当n＝k＋1时，(*)式也成立．综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时题设的等式对于一切正整数n都成立．例2用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．用数学归纳法证明不等式利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．证明(1)当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋2k＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等．探究提高设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋1an(n＝1,2，…)．(1)证明：an2n＋1对一切正整数n都成立；(2)令bn＝ann(n＝1,2，…)，判断bn与bn＋1的大小，并说明理由．变式训练2(1)证明方法一当n＝1时，a1＝22×1＋1，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*)时，ak2k＋1成立．那么当n＝k＋1时，a2k＋1＝a2k＋1a2k＋22k＋3＋1a2k2(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，ak＋12k＋1＋1成立．综上，an2n＋1对一切正整数n都成立．方法二当n＝1时，a1＝23＝2×1＋1，结论成立．假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即ak2k＋1.那么当n＝k＋1时，由函数f(x)＝x＋1x(x1)的单调递增性和归纳假设，知ak＋1＝ak＋1ak2k＋1＋12k＋1＝2k＋1＋12k＋1＝2k＋22k＋1＝4k2＋8k＋42k＋12k＋32k＋12k＋1＝2k＋3＝2k＋1＋1.∴当n＝k＋1时，结论成立．∴an2n＋1对一切正整数n均成立．(2)解∵bn＋1bn＝an＋1n＋1ann＝1＋1a2n·nn＋11＋12n＋1·nn＋1＝2n＋1n2n＋1n＋1＝2nn＋12n＋1＝n＋122－14n＋121.故bn＋1bn.例3用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．用数学归纳法证明整除问题验证n＝1时命题是否成立→假设n＝k时命题成立→推证n＝k＋1时命题成立→得结论证明(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立，由(1)(2)知，对任意n∈N*原命题成立．证明整除问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k＋1时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．探究提高求证：(3n＋1)×7n－1(n∈N*)能被9整除．变式训练3证明(1)当n＝1时，(3n＋1)×7n－1＝27，能被9整除．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)×7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时：[3(k＋1)＋1]×7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]×(1＋6)×7k－1＝(3k＋1)×7k－1＋(3k＋1)×6×7k＋21×7k＝[(3k＋1)×7k－1]＋3k×6×7k＋(6＋21)×7k.由归纳假设知，以上三项均能被9整除．则由(1)、(2)可知，命题对任意n∈N*都成立．(14分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．思想与方法纳、猜想、证明——从特殊到一般的思维能力(1)数列{an}的各项均为正数，且Sn＝12an＋1an，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出{an}的通项公式an，然后再证明．审题视角规范解答解(1)S1＝a1＝12a1＋1a1得a21＝1.∵an0，∴a1＝1，[1分]由S2＝a1＋a2＝12a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1.[2分]又由S3＝a1＋a2＋a3＝12a3＋1a3得a23＋22a3－1＝0，∴a3＝3－2.[3分](2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)[5分]证明：①当n＝1时，a1＝1＝1－0，猜想成立．[7分]②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝k－k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak，[9分]即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，∴a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，∴ak＋1＝k＋1－k.[12分]即n＝k＋1时猜想成立．由①②知，an＝n－n－1(n∈N*)．[14分]批阅笔记(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口．1．利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明．2．利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题．3．利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题．4．利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时常常利用凑数、凑多项式等恒等变形．5．利用数学归纳法可以证明几何问题．方法与技巧1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．3．注意n＝k＋1时命题的正确性．4．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．失误与防范