2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第12讲 函数与方程

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．结合具体函数的图象，能用二分法求近似解．1__________20________________.3[]__________()______()__________0yfxyfxfxyfxyfxyfxabyfxabcabcfx对于函数，我们把使①叫做函数的零点．方程有实根函数的图象②函数③如果函数在区间，上的图象是连续不断的一条曲线，并且④，那么，函数在区间，内有⑤，函即存在，，使得⑥，这个也数的就是方程零点的根．000fxxxfafbfc①的实数；②与轴有交点；③有零点；④；⑤零点；⑥【要点指南】1.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．(0,0)，(－12，0)【解析】因为f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－2a(x2＋12x)＝0，得x＝0或x＝－12，故选C.2.函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是()A．－1a15B．a15C．a15或a－1D．a－1【解析】令f(－1)·f(1)0，得a15或a－1，故选C.3.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3，＋∞)【解析】在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图象(如图)．它们的交点的横坐标x0，显然在区间(1,3)内，由此可排除A、D.对于B和C，实际上是要比较x0与2的大小．当x＝2时，lgx＝lg2,3－x＝1.由于lg2＜1，因此x0＞2，从而判定x0∈(2,3)，故选C.4.(2011·上虞期末)函数f(x)＝ex＋2x－6(e≈2.718)的零点属于区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝1.【解析】f(1)＝e＋2－6＝e－40，f(2)＝e2＋4－6＝e2－20，f(1)·f(2)0，故n＝1.5.已知函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞).【解析】因为函数f(x)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两根，那么，函数y＝ax与y＝x＋a的图象有两个交点．若0a1，则由图可知，函数y＝ax与y＝x＋a图象只有一个交点，故不合题意；若a1，则由图可知，函数y＝ax与y＝x＋a图象有两个交点，故a的取值范围是(1，＋∞)．一函数零点的判断【例1】(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4个B．4个C．3个D．2个(2)方程ex－k－x＝0在区间[k,2k](其中k1)的根的个数是________个．【分析】(1)中确定函数零点个数，可转化为函数图象的交点个数，分别作出y＝f(x)与y＝log3|x|的图象确定；(2)中方程根的个数，可转化为函数f(x)＝ex－k－x的零点区间讨论．【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，x∈[0,1]时，f(x)＝x，作函数y＝f(x)的图象，再作y＝log3|x|的图象．由图可知，y＝f(x)与y＝log3|x|的图象交点个数为4个，故函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是4个，故选B.(2)令f(x)＝ex－k－x，又k1，则f(k)＝e0－k＝1－k0，f(2k)＝ek－2k.设g(k)＝ek－2k，g′(k)＝ek－2e1－20，所以当k1时，g(k)为增函数，所以g(k)g(1)＝e－20，所以f(2k)＝ek－2k0，即f(k)·f(2k)0，所以f(x)＝ex－k－x在区间[k,2k](k1)上有零点，又f′(x)＝ex－k－1，当x∈(k,2k)是，f′(x)0.所以f(x)在[k,2k]上是增函数，所以f(x)＝ex－k－x在[k,2k]上仅有一个零点，即方程ex－k－x＝0在区间[k,2k](k1)上只有一根．【点评】(1)函数零点存在问题常用方法有三种：一是用定理；二是解方程；三是用图象．需特别注意的是，零点存在性定理是充分条件，而非必要条件，且只能判断有零点，而个数不能确定，常需单调性结合判断．(2)函数图象的交点个数及方程根的个数，有时需转换为函数零点问题，通过零点存在性定理判断．(1)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数不存在零点的是()A．[－4，－2]B．[－2,0]C．[0,2]D．[2,4](2)函数f(x)＝x2＋2x－3x≤0－2＋lnxx0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0素材1【解析】(1)因为f(－4)＝4sin(－7)＋40，f(－2)＝4sin(－3)＋2＝－4sin(π－3)＋20，又f(x)在[－4，－3π＋24]上递增，在[－3π＋24，－2]上递减，所以f(x)在[－4，－2]上恒大于0，故函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x在区间[－4，－2]上无零点，故选A.【解析】(2)函数f(x)的零点个数，即为方程f(x)＝0的根的个数．由x≤0x2＋2x－3＝0或x0－2＋lnx＝0，得x＝－3(x＝1舍去)或x＝e2，有两根，故函数f(x)的零点个数为2，选B.二函数零点的性质的应用【例2】已知a∈R，函数f(x)＝x2＋2ax＋1，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．【解析】①Δ＝0⇒a＝±1，此时当a＝1时，x＝－1∈[－1,1]；当a＝－1时，x＝1∈[－1,1]，合乎题意．②f(x)在区间[－1,1]上只有一个零点且不是f(x)＝0的重根，此时有f(－1)f(1)0⇒a1或a－1.③函数f(x)在区间[－1,1]上有两个相异实根，则有Δ0f－1≥0f1≥0－1－2a21⇒a∈∅.综上知，函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[－1,1]上有零点，则a的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．【点评】1.二次函数零点的个数就是方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般地，由Δ0、Δ＝0、Δ0判断．2．在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质一并实施．素材2已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1至少有一个值为正的零点，试求实数m的取值范围．【解析】当m＝0时，由f(x)＝0，可得x＝130，满足题意；当m0时，f(x)的图象开口向上，且f(0)＝1，根据题意，方程f(x)＝0的两根一定都在原点的右侧，从而Δ≥0，且－m－32m0，解得0m≤1；当m0时，f(x)的图象开口向下，且f(0)＝1，故条件恒成立．综上所述，所求m的取值范围为m≤1.【点评】有关二次函数的零点问题，即根的分布问题，常采用图象法来完成．三函数零点的综合应用【例3】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若abc，且f(1)＝0.(1)试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1、x2∈R且x1x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)．【分析】(1)证明f(x)必有两零点，即证明f(x)＝0有两不等实根，可用判别式；(2)中证明(x1，x2)中有零点，可由所对应函数的函数值异号证明．【证明】(1)因为f(1)＝0，即a＋b＋c＝0.又因为abc，所以a0，c0，即ac0.所以Δ＝b2－4ac≥－4ac0，所以方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，即函数f(x)必有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝12[f(x1)－f(x2)]，g(x2)＝12[f(x2)－f(x1)]，所以g(x1)·g(x2)＝12[f(x1)－f(x2)]·12[f(x2)－f(x1)]＝－14[f(x1)－f(x2)]2.而f(x1)≠f(x2)，所以g(x1)g(x2)0，所以g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根，又因为a0，min{g(x1)，g(x2)}0，得函数y＝g(x)的图象顶点必在x轴下方，开口向上，所以g(x)图象与x轴必有两个交点．所以方程f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，且必有一实根属于(x1，x2)．【点评】(1)二次函数零点的个数就是方程ax2＋bx＋c＝0的不同实根个数，一般由判别式判断；(2)在闭区间上零点的个数应由零点存在性定理及函数图象性质一并考察，综合应用．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的不动点．(1)当a＝－b＝2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求实数a的取值范围．素材3【解析】(1)当a＝－b＝2时，函数f(x)＝2x2－x－4.设x为f(x)的不动点，则2x2－x－4＝x，即2x2－2x－4＝0，解得x1＝－1或x2＝2，所以函数f(x)有两个不动点－1和2.(2)由于f(x)＝x，即ax2＋bx＋b－2＝0，依题意，此方程有两个相异实数根，则Δx＝b2－4a(b－2)0，即b2－4ab＋8a0恒成立，故Δb＝16a2－32a0，解得0a2，所以，实数a的取值范围为(0,2)．备选例题已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)＝0有三个根，它们分别为α，2，β.(1)求c的值；(2)求证：f(1)≥2；(3)求|α－β|的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由已知f′(0)＝0，所以c＝0.(2)证明：由f′(x)＝3x2＋2bx＝x(3x＋2b)＝0，得x1＝0，x2＝－2b3.又由已知，－2b3≥2，所以b≤－3，－3b≥9，又f(2)＝0，所以8＋4b＋d＝0，所以d＝－4b－8，所以f(1)＝1＋b＋d＝－3b－7≥2.(3)f(x)＝x3＋bx2＋d＝(x－2)(x－α)(x－β)＝x3－(2＋α＋β)x2＋(αβ＋2α＋2β)x－2αβ.所以2＋α＋β＝－b－2αβ＝d⇒α＋β＝－b－2αβ＝－12d＝2b＋4，所以|α－β|＝α＋β2－4αβ＝b2＋4b＋4－8b－16＝b2－4b－12＝b－22－16.又b≤－3，所以(b－2)2－16≥9，所以|α－β|≥3.1．零点的三种等价形式方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同表现形式．例如求方程根的个数，就是看对应的函数图象与x轴有几个交点；反过来，求函数的零点个数，则可以看方程有几个实数根．可见，函数零点有以下两种求法：①(代数法)求方程f(x)＝0的实数根；②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2．函数零点函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以零点是一个实数，一个使函数值为0的实数．函数的零点分变号零点和不变号零点两种，变号零点可以利用零点存在性定理求得其所在区间，不变号零点一般通过函数图象判断，如函数y＝|x－1|有一个零点x＝1，它是不变号零点，所以f(a)f(b)0是函数f(x)在区间[a，b]上存在零点的充分不必要条件．