离散型随机变量的方差和标准差

2.5.2离散型随机变量的方差和标准差甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X、Y表示，X、Y的分布列如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比较甲、乙两人的技术？比较出废品的均值！()00.610.220.130.10.7EX()00.510.320.2300.7EY()()EXEY从这个意义上讲，甲、乙技术相当！我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．X1x2xnxP1p2pnp的偏离程度，故则描述了相对于均值2()(())ixEX(1,2,...,)ixin能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？2221122()()...()nnxpxpxp12(0,1,2,...,,...1)inpinppp刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或.2方差公式也可用公式计算．221()niiiVXxp随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即()VX思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？随机变量的方差和标准差都反映了的取值偏离于均值的平均程度.随机变量的方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小.例1．若随机变量x的分布如表所示：求方差V(X)和标准差()VXX01P1-pp解：()0(1)1EXppp22()(0)(1)(1)(1)VXpppppp()(1)VXpp例2．求第2.5.1节例1中超几何分布H(5,10,30)的方差和标准差．X012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751解：随机变量X的概率分布为:P(X=K)=H(K;5,10,30);K=0,1,2,…,522222222584807585503800700425()012345()23751237512375123751237512375130.9579VX5()3nMEXN()0.9787VX221()niiiVXxp一般地，由定义可求出超几何分布的方差的计算公式：当时，~(,,)XHnMN2()()()(1)nMNMNnVXNN()nMEXN例3．求第2.5.1节例2中的二项分布的方差和标准差．(10,0.05)B解：随机变量X的概率分布为:P(X=K)=H(K;5,10,30);K=0,1,2,…,5()0.5EXnp221()niiiVXxp2200102119210100210101000.050.9510.050.95...100.050.950.5CCC0.7250.250.475故标准差0.6892X012345PX678910P001010(1)Cpp11910(1)Cpp22810(1)Cpp33710(1)Cpp44610(1)Cpp55510(1)Cpp66410(1)Cpp77310(1)Cpp88210(1)Cpp99110(1)Cpp1010010(1)Cpp一般地，由定义可求出二项分布的方差的计算公式：当时，~(,)XBnp()(1)VXnpp()EXnp例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分数X8090100概率0.20.60.2乙分数Y8090100概率0.40.20.4试分析两名学生的答题成绩水平．五．回顾小结：1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法．