高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。认知：（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数在点处可导，则有此时，记,则有即在点处连续。（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。反例：在点处连续，但在点处无导数。事实上，在点处的增量当时，，；当时，，由此可知，不存在，故在点处不可导。2、求导公式与求导运算法则（1）基本函数的导数（求导公式）公式1常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。公式2幂函数的导数：。公式3正弦函数的导数：。公式4余弦函数的导数：公式5对数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）公式6指数函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）。（2）可导函数四则运算的求导法则设为可导函数，则有法则1；法则2；法则3。3、复合函数的导数（1）复合函数的求导法则设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，即。引申：设，复合成函数，则有（2）认知（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。（2）利用导数求函数单调性的步骤（Ⅰ）确定函数的定义域；（Ⅱ）求导数；（Ⅲ）令，解出相应的x的范围当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。（3）强调与认知（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应用；（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（1）是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。（2）在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。（2）函数的极值的判定设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。（3）探求函数极值的步骤：（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则在这一点取得极大值，若左负右正，则在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值（1）定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。认知：（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。（2）探求步骤：设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（I）求在内的极值；（II）求在定义区间端点处的函数值，；（III）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（I）求出的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（II）计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。（3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（I）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（II）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（III）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题例1、设函数在点处可导，且，试求（1）；（2）；（3）；（4）（为常数）。解：注意到当）（1）；（2）=A+A=2A（3）令，则当时，∴（4）点评：注意的本质，在这一定义中，自变量x在处的增量的形式是多种多样的，但是，不论选择哪一种形式，相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量x在处的增量为，则相应的，于是有；若令，则又有例2、（1）已知，求；（2）已知，求解：（1）令，则，且当时，。注意到这里∴（2）∵∴①注意到，∴由已知得②∴由①、②得例3、求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）（2），∴（3），∴（4），∴（5），∴（6）∴当时，；∴当时，∴即。点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例4、在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。解：（1）∴当时，取得最小值-13又当时，∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为且有①∴将代入的解析式得，∴点坐标为方程的解∴注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。例5、已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为，则有，，∴，∴，∴，∴于是，对于有；①对于，有②∴由①得，由②得∴，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，∴两曲线在公共点处的切线重合∴两曲线在公共点处相切。例6、（1）是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；（2）若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（1）由题意，当时，当x∈(2,+∞)时，∴由函数的连续性可知，即整理得解得或验证：（Ⅰ）当时，∴若，则；若，则，符合题意；（Ⅱ）当时，，显然不合题意。于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。（2）若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则并且当时，；当时，∴综合可知，当时，恰有三个单调区间：减区间；增区间点评：对于（1），由已知条件得，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7、已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值。解：（1），令得方程∵在处取得极值∴或为上述方程的根，故有∴，即①∴又∵仅当时取得极值，∴方程的根只有或，∴方程无实根，∴即而当时，恒成立，∴的正负情况只取决于的取值情况当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+∞)+0—0+极大值极小值∴在处取得极大值，在处取得极小值。由题意得整理得②于是将①，②联立，解得（2）由（1）知，点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系。例8、（1）已知的最大值为3，最小值为-29，求的值；（2）设，函数的最大值为1，最小值为，求常数的值。解：（1）这里，不然与题设矛盾令，解得或x=4（舍去）（Ⅰ）若，则当时，，在内递增；当时，，在内递减又连续，故当时，取得最大值∴由已知得而∴此时的最小值为∴由得（Ⅱ）若，则运用类似的方法可得当时有最小值，故有；又∴当时，有最大值，∴由已知得于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或（2），令得解得当在上变化时，与的变化情况如下表：-1(-1,0)01+0—0+极大值极小值∴当时，取得极大值；当时，取得极小值。由上述表格中展示的的单调性知∴最大值在与之中，的最小值在和之中，考察差式，即，故的最大值为由此得考察差式，即，∴的最小值为由此得，解得于是综合以上所述得到所求。五、高考真题（一）选择题1、设，，，…，，，则（）。A、B、C、D、分析：由题意得，，，，∴具有周期性，且周期为4，∴，应选C。2、函数有极值的充要条件为（）A、B、C、D、分析：∴当时，且；当时，令得有解，因此才有极值，故应选C。3、设，分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当时，，且，则不等式的解集是（）A、（-3，0）∪（3，+∞）B、（-3，0）∪（0，3）C、（-∞，-3）∪（3，+∞）D、（-∞，-3）∪（0，3）分析：为便于描述，设，则为奇导数，当时，，且∴根据奇函数图象的对称性知，的解集为（-∞，-3）∪（0，3），应选D。二、填空题1过原点作曲线的切线，则切点坐标为，切线的斜率为。分析：设切点为M，则以M为切点的切线方程为∴由曲线过原点得，∴，∴切点为，切线斜率为。点