绝对值、相反数、倒数的性质及应用

1绝对值、相反数、倒数的性质及应用一、【知识大串联】1．相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是零；2．互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数；3．相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。4．多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“－”号的个数来决定的，简称：奇负偶正。5．什么是一个数的绝对值呢？从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。6．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。7．两个负数，绝对值大的反而小。8．绝对值的性质：（1）若a为有理数，则︱a︱≥0.（2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等。（3）若︱a︱=a，则a≥0.（4）若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0，则︱a︱=0︱b︱=0,︱c︱=0,︱d︱=0,…,︱m︱=0,即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0.（5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。9．相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0.10．倒数的性质：若a、b互为倒数，则ab=1.【精练】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd+1=.解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数所以a+b=0，cd=1所以a+b+cd+1=0+1+1=2二、【典例分析】1．利用概念例1.5的相反数是（)A.－5B.5C.D.解析:根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，易知本题选A例2.绝对值为4的实数是A.±4B.4C.－4D.2解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观，绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数，故本题选A2．用性质特征3．例3.－2的绝对值是（）A．2B．－2C．±2D．解析:由绝对值的特征：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.所以－2的绝对值是2例4.若a与2互为相反数，则|a+2|等于（)A.0B.－2C.2D.4解析:由相反数的特征若a、b两数互为相反数，则a＋b＝0，反之也成立.可知a+2=0，再由绝对值的特征可得本题选A例5若a、b、c都是负数，且︱x-a︱+︱y-b︱+︱z-c︱=0，则xyz是（）2A负数B非负数C正数D非正数解：由绝对值性质，得：x-a=0,y-b=0,z-c=0所以x=a,y=b,z=c因为a＜0,b＜0,c＜0所以xyz=abc＜0即xyz为负数，故选A。例6已知a的绝对值是它自身；b的相反数是它自身；c的倒数是它自身，则结果不唯一的是（）。AabBacCbcDabc解：已知a的绝对值是它自身，则a为非负数；b的相反数是它自身，则b=0；c的倒数是它自身，则c=±1，ab=0,bc=0,abc=0,都是唯一的，故选B。例7若︱a-3︱-3+a=0，则a的取值范围是（）Aa≤3Ba＞3Ca≥3Da＞3解：因为︱a-3︱-3+a=0所以︱a-3︱=3-a因为a-3与3-a互为相反数所以a-3≤0,即a≤3,故选A.3．解决实际问题例8质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为－0.2毫米，第三个为－0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？哪一个零件与规定长度的误差最小？解析:∵|－0.2|＞|0.15|＞|0.13|＞|－0.1|∴长度最小的是第二个，与规定长度的误差最小的是第三个.三、【考题警示】1．整体代换例9.若|a－2|＝2－a，求a的取值范围。解析:根据已知条件等式的结构特征，我们把a－2看作一个整体，那么原式变形为|a－2|＝－（a－2)，又由绝对值概念知a－2≤0，故a的取值范围是a≤2。2．数形结合※例10.（全国初中数竞学赛试题)设x是实数，y＝|x－1|+|x+1|。下列四个结论：A、y没有最小值；B、只有一个x使y取到最小值；C、有有限多个x（不只一个)使y取到最小值；D、有无穷多个x使y取到最小值。其中正确的是[]。解析:我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离。类似地可知，|x－a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离。一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解。原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x到点1与点－1的距离之和为最小。从数轴上可知，区间[－1，1]上的任一点x到点1与点－1的距离之和均为2；区间[－1，1]之外的点x到点1与点－1的距离之和均大于2。所以函数y＝|x－1|+|x+1|当－1≤x≤1时，取得最小值2。故选（D)。3．分类例11.已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（）A．5或－5B．1或－1C．5或1D．－5或－1解析:|x|＝3，|y|＝2，所以x＝±3，y＝±2，又因为xy＜0，x、y异号。所以有两种情况：（1）当x＝3，y＝－2时，x＋y＝1。（2）当x＝－3，y＝2时x＋y＝－1。故选B。