1.7.1定积分的简单应用

1.7.1定积分在几何中的应用1.定积分的几何意义：一、复习引入如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。xdxfba)(xyoabs1s2s3)(xfy一般情况下，的几何意义是：介于x轴，曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间各部分曲边梯形面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号。xdxfba)(xyo)(xfyabs如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F´(x)=f(x)，那么:)()()(aFbFxdxfba2.微积分基本定理：类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(|)3(badxxfS)()1(badxxfS)()2((2)xyoabc)(xfy(3)(1)xyo)(xfyab.几种典型的平面图形面积的计算：二、新课讲解bccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(|)3(类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积SbababadxxgxfdxxgdxxfS)]()([|)(|)()2(bababadxxgxfdxxgdxxfS)]()([)()()1(yxoba)(xfy)(xgy(2))(xfy)(xgy(1).几种典型的平面图形面积的计算：二、新课讲解bababadxxgxfdxxgdxxfS)]()([|)(|)()2(bababadxxgxfdxxgdxxfS)]()([)()()1(例1.计算由两条抛物线xy2和2xy围成图形的面积.解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:即两曲线的交点为(0,0),(1,1)120S=(x-x)dx323102()|33xx.31边边曲梯形OABC曲梯形OABDS=S-Soxy2yx2yx2xyyxABCDO11200xdxxdx二、新课讲解11002yxyxxyxy或解方程组(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)(3)写出平面图形的定积分表达式；二、新课讲解求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。例2.计算由曲线直线y=x-4以及x轴围成图形的面积.xy2解:作出y=x-4,的图象如图所示:2yx解方程组：42xyxy得：直线y=x-4与交点为(8，4)直线y=x-4与x轴的交点为(4，0)2yx因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：340)4(28480dxxdxxS本题还有其他解法吗？另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。3402)4(40240dyydyyS还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数变形为2yx22yx二、新课讲解2yx4xyS1S2])4(2[284844021dxxdxxdxxSSS340)4(213223224848042323xxx另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取y为积分变量，练习1.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。yx解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：112212)1()1(dxxdxxS三、课堂练习38)3()3(113123xxxxxy212102)23()32(dxxxdxxxS16165)2323()2323(12330123xxxxxx练习2.求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所围成的图形的面积。三、课堂练习解：1.7.2定积分在物理中的应用变速直线运动的物体V（t）区间[a,b]内的积分与位移和路程的关系：(1)若V（t）≥0，则路程()basvtdt位移M()bavtdt(2)若V（t）≤0，则路程()basvtdt位移M()bavtdt一、变速直线运动的路程31.73.1min.例一辆汽车的速度时间曲线如图所示求汽车在这行驶的路程o102030405060102030CBAs/ts/m/v37.1图o102030405060102030CBAs/ts/m/v37.1图:时间曲线可知由速度解.60t40,90t5.1;40t10,30;10t0,t3tv:min1程是行驶的路因此汽车在这dt90t5.1dt30tdt3S60404010100.m1350t90t43t30t236040240101002.m1350min1行驶的路程是汽车在这答法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即30603013502s变力沿直线作功二..FsWF),m:(sF,N:F所作的功为则力单位相同的方向移动了果物体沿着与力如的作用下做直线运动单位一物体在恒力?xF,babxaxxF,xF所作的功呢那么如何计算变力移动到相同方向从并且物体沿着与动的作用下做直线运如果物体在变力探究变力所做的功物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到x=b（ab），那么变力Ｆ（x）所作的功()baWFxdxlQF47.1图.或压缩拉伸动画演示弹簧.,,,47.14力所作的功求弹处拉到离平衡位置将一弹簧从平衡位置度内在弹性限如图例ml.k,kxxF,xxF)(,是比例系数数其中常即成正比的长度或压缩弹簧拉伸与弹簧所需的力压缩或拉伸在弹性限度内解.2121,2020JklkxkxdxWll得由变力作功公式.212Jkl克服弹力所作的功为答练习:1.如果1N力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,克服弹力所作的功为()(A)0.18J(B)0.26J(C)0.12J(D)0.28J2.一物体在力10(02)()34(2)xFxxx≤≤(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)所作的功为()J(A)44(B)46(C)48(D)50AB3.一物体以速度2()2vtt(m/s)作直线运动,媒质的阻力F(N)与速度v(m/s)的关系为20.7Fv,试求在时刻0t(s)到2t(s)这段时间内阻力做的功.解:媒质的阻力为20.7Fv=42.8t取一小段时间,ttt△这一小段时间内阻力做的功为WFvt△△∴在时刻0t(s)到2t(s)这段时间内阻力做的功为20WFvdt=2605.6tdt=102.4J答:在时刻0t(s)到2t(s)这段时间内阻力做的功为102.4J