分段函数及函数的性质知识梳理

分段函数及函数的性质分段函数概念在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集函数值求分段函数的函数值0fx时，应该首先判断0x所属的取值范围，然后再把0x代入到相应的解析式中进行计算．注意分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．分段函数的作图因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．例1设函数221,0,,0.xxyfxxx„（１）求函数的定义域；（２）求2,0,1fff的值．（3）作出函数图像．1.设函数221,20,1,03.xxyfxxx„（1）求函数的定义域；（2）求2,0,1fff的值．（3）作出函数图像．2．设函数41,20,1,03.xxfxx„（1）求函数的定义域；（2）求2(0)(1)fff，，；（3）作出函数图像．3.,0,2,0,12xxxxxf若2ff=.4.已知)6()2()6(5)(xxfxxxf，则f(3)为（）A2B3C4D5函数的性质1单调性概念函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．1即对于任意的12,,xxab，当12xx时，都有12fxfx成立．这时把函数fx叫做区间,ab内的增函数，区间,ab叫做函数fx的增区间．2即对于任意的12,,xxab，当12xx时，都有12fxfx成立．这时函数fx叫做区间,ab内的减函数，区间,ab叫做函数fx的减区间．3如果函数fx在区间,ab内是增函数（或减函数），那么，就称函数fx在区间,ab内具有单调性，区间,ab叫做函数fx的单调区间．例判断函数42yx的单调性1.已知函数f(x)=x2+ax+b，且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1－x)成立。（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数。2．如果函数xf=x2+2(a-1)x+2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a值范围是（）。A．a≥－3B.a≤－3C.a≤5D.a≥33.如果函数2()2(1)2fxxax在区间,4上是减少的，那么实数a的取值范围是（）A3aB3aC5aD5a4.若xf=－x2+2ax与gx=1xa在区间[1，2]上是减函数，则a的取值范围是__________5.函数f(x)＝x2－2x－3的单调增区间为_______________________6函数2(62)12xxy的单调增区间是________2奇偶性设函数yfx的定义域为数集D，对任意的xD，都有xD（即定义域关于坐标原点对称），且（1）fxfx函数yfx的图像关于y轴对称，此时称函数()yfx为偶函数；（2）fxfx函数yfx的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数()yfx为奇函数．如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：（1）求出函数的定义域；（2）判断对任意的xD是否都有xD．若存在某个0xD但xD，则函数肯定是非奇非偶函数；（3）分别计算出()fx与()fx．若()()fxfx，则函数为偶函数；若()()fxfx，则函数为奇函数；若()()fxfx且()()fxfx，则函数为非奇非偶函数．例判断下列函数的奇偶性：（1）3fxx；（2）221fxx；（3）fxx；（4）1fxx．1.判断下列函数的奇偶性：（1）fxx；（2）21fxx；（3）31fxx；（4）232fxx1、)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A、1B、2C、3D、41.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________.2．已知xf是偶函数，且54f，那么44ff的值为（）。（A）5(B)10(C)8(D)不确定3设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A.－3B.－1C.1D.34已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf.5.已知函数)(xfy为奇函数，且当0x时32)(2xxxf，则当0x时，)(xf的解析式为…（）A.32)(2xxxfB.32)(2xxxfC.32)(2xxxfD.32)(2xxxf6.如果奇函数)(xf在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3,7上是（）A、增函数且最小值是5B、增函数且最大值是5C、减函数且最大值是5D、减函数且最小值是53.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.1若函数)(xf是周期为4的函数，且(2)5,(2)ff则2.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()A.－2B.2C.－98D.983已知f(x)在R上是偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当),0(x时，f(x)＝2x2，则f(-7)＝_______