7.1-Navier-Stokes方程的解

高等流体力学7Navier-Stokes方程的解(第1部分)7Navier-Stokes方程的解由于Navier-Stokes方程含有非线性项，而数学上至今尚未找到求解非线性偏微分方程的普遍方法，所以Navier-Stokes方程无一般的精确解法。但是，对一些物理现象简单的流体流动问题，能够获得Navier-Stokes方程的精确解。7Navier-Stokes方程的解非线性是求解Navier-Stokes方程的主要困难所在，据此，可以将求Navier-Stokes方程精确解的问题分成两大类：7Navier-Stokes方程的解①根据流动问题的性质，可以使Navier-Stokes方程中的非线性项全部消失，控制流体流动的Navier-Stokes方程变成线性方程，于是便可以求出这一线性方程的精确解，这类问题通常是不可压缩流体流动，其流线形状事先易于假定；7Navier-Stokes方程的解②根据流动问题的性质，虽然保留有非线性项，但它的形式简单，Navier-Stokes方程成为简单的非线性偏微分方程，从而求得其精确解。(例如：通过坐标的相似变换方法，将简单的非线性偏微分方程化为常微分方程，然后求得其精确解。)7Navier-Stokes方程的解自1887年Navier-Stokes方程发表后，人们在很长一段时间中一直探索着Navier-Stokes方程的精确解。然而，从20世纪50年代起，人们就不怎么热心于寻找Navier-Stokes方程的精确解了。主要原因有三个：7Navier-Stokes方程的解①Navier-Stokes方程存在固有的非线性问题，使得数学求解十分困难；②自1904年Prandtl提出边界层理论以后，许多粘性流体流动问题可以采用近似理论来解决；③随着大型电子计算机的出现和不断升级，使得Navier-Stokes方程的数值求解成为可能。7Navier-Stokes方程的解讨论Navier-Stokes方程的精确求解，目的有：①能使学习者对流体力学发展历程中的若干典型解法有所了解，以利于开阔解决流动问题的思路；②能使学习者对一些粘性流体流动问题及其基本特性有所了解，或许有助于求解较为复杂的流动问题；③有时可以用这些精确解来检验某种近似解法的准确性与适用性。7Navier-Stokes方程的解Navier-Stokes方程的精确解仅限于层流问题，湍流问题不可能有精确解。7.1平行流动不可压缩流体的平行流动是最简单的一类流动，它只有一个不为零的速度分量，所有流体质点都沿同一个方向运动。在直角坐标系中，如果把流体运动方向取作x轴，那么，由连续性方程得即：运动速度u与坐标轴x无关，0xux),,(tzyuuux0yu0zu7.1平行流动为方便起见，忽略质量力，X＝Y＝Z＝0，将此代入N-S方程的y、z方向项：得到2222221zuyuxuypzuuyuuxuutuyyyyzyyyxy2222221zuyuxuzpzuuyuuxuutuzzzzzzyzxz0zpyp7.1平行流动可见，压强与坐标轴y、z无关，只是坐标轴x的函数将上述式子代入N-S方程的x方向项，得这就是不可压缩流体平行流动的线形二阶偏微分方程。xpxpdd2222dd1zuyuxptu7.1.1Couette剪切流设有两无限大平行放置的平板，两板相距h。下板固定，上板以向右的速度U作匀速直线运动，如下图所示。取x轴与下板重合，y轴垂直于板面，z轴则垂直于纸面向外。oUzxyhμ7.1.1Couette剪切流按不可压缩流体的定常平行流动考虑。因为平板无限宽，所以流体流动速度在z方向上的变化率为零，即，，N-S方程的x方向项简化为相应的边界条件为y＝0，u＝0y＝h，u＝U)(yuuux0yu0zu22ddddyuxp7.1.1Couette剪切流方程的左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标y的函数，方程成立的条件就是常数有积分，得22ddddyuxpyxpyuddd1ddd1dd1ddCyxpyu212dd21CyCyxpu7.1.1Couette剪切流由边界条件y＝0，u＝0，得C2＝0y＝h，u＝U，得因此无量纲速度式中：hxphuCdd211hyhyxphUhyu1dd22hyhyBhyUu1xpUhBdd227.1.1Couette剪切流流体通过某断面的单宽流量为由此可以看出，上述流速分布由dp/dx＝0时的流速分布及U＝0,dp/dx≠0时的流速分布叠加而成。下图给出了不同压强梯度(图中用不同的B表示)下的流速分布。xphUhyuQhdd122d307.1.1Couette剪切流-0.200.20.40.60.81.01.21.4-0.40.20.40.60.81.0B＝-3-2-10123u/Uy/hCouette剪切流的速度分布7.1.1Couette剪切流①当B＝0即时，为零压强梯度下的平行平板Couette剪切流，流速呈线性分布；②当B0即时的流动称为顺压强梯度流动，压强沿流动方向逐渐降低，顺压梯度流动u0；③当B0即时的流动称为逆压强梯度流动，逆压强梯度流动有可能出现回流；7.1.1Couette剪切流④当B＝-1即时的逆压梯度流动是不产生回流的极限状况；⑤当B-1即时的逆压梯度流动开始产生回流；⑥当B-3即时，Q＝0，逆压梯度对流动的回流作用与上板拖动形成的流量相平衡。7.1.2Poiseuille流动Poiseuille流动是指顺压梯度推动槽内、管内的不可压缩粘性流体流动。(1)不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动xy2bu(y)umaxoPoiseuille流动7.1.2Poiseuille流动(1)不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动上图为不可压缩粘性流体通过二维槽内的定常流动，z方向为无穷长。流动的基本方程为相应的边界条件为y＝b，u＝0y＝-b，u＝0积分，得22ddddyuxp1dd1ddCyxpyu7.1.2Poiseuille流动(1)不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动由边界条件y＝b，u＝0，得y＝-b，u＝0，得解得C1＝0；因此212dd21CyCyxpu0dd21212CbCbxp0dd21212CbCbxp21dd21bxpC22dd21ybxpu7.1.2Poiseuille流动(1)不可压缩粘性流体通过槽内的定常流动流速分布为抛物线型。最大流速出现在两板中心处(y＝0)单位宽度槽内流量为断面平均流速为xpbudd22maxxpbyybxpyuqbbbbdd323dd21d332xpbbqVdd3227.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动管道内部流动是N-S方程精确解中最具实际意义的流动之一。由于粘性流体在管道入口的一段距离内存在着边界层发展的过程，流速在剖面上的分布是沿程变化的，下面只研究入口段以后充分发展了的管内层流流动。充分发展的圆管层流流动u(r)xrr0o7.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动采用圆柱坐标系(r,θ,x)，ur＝0，uθ＝0，只有x方向的流速ux＝u(r)不为零。由连续性方程可得01xuurruruxrr0xu7.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动流动的N-S方程可写为由上述可知，压强p只与x坐标有关而与(r,θ)坐标无关，p＝p(x)xpxpdd01rp01rp0122rruruxp7.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动这样便得等式左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标r的函数，由此可见dp/dx只能是一常数。)(1dd22rfrurruxprxprururdd1dddd22rxprurrdd1dddd7.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动积分，得在圆管轴心处(r＝0)，由于du/dr≠，所以r·du/dr＝0，从而C1＝0。再积分，得利用边界条件：r＝r0，u＝0，得122dd1ddCrxprur22dd41Crxpu202dd41rxpC7.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动流速分布公式为最大流速出现在管路中心处(r＝0)管内流量为220dd41rrxpu20maxdd41rxpu0004220042dd42d2rrrrrxprruQxprQdd8407.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动断面平均流速为这就是不可压缩粘性流体圆管内充分发展层流的N-S方程精确解。它只适用于圆管层流，即Re＝Vd/ν2320。max202021dd8uxprrQV7.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动考虑水平放置的等径直圆管，Bernoulli方程可表示成沿程水头损失为而fhzgVgpzgVgp222221gpgpphfd21xrVpd8d207.1.2Poiseuille流动(2)充分发展的圆管层流流动因此或其中：gVdxgVdxdVxgrVhf2dRe642d64d82220gVdxhf2d2Re64VdRe7.2运动平板引起的流动7.2.1突然加速平板引起的流动设有一无界(无限长、无限宽)平板，其上部的无限空间充满静止的不可压缩粘性流体，初始时刻(t＝0)平板与流体都处于静止状态。某瞬时平板由静止突然加速，在自身平面内以速度U0作等速运动，并带动平板上部的流体运动。此流动问题由斯托克斯(Stokes)于1851年提出并给出解答，所以称为斯托克斯第一问题。7.2.1突然加速平板引起的流动在平板起动的瞬时，只有粘附在平板上的流体质点获得速度U0而与平板一起运动，流场其余部分仍处于静止状态。随着时间的增加，平板上方的流体被逐层牵连而产生平行于无限大平板的运动。xoyU0突然加速平板引起的流动xoyU0t1t2t3t4t1t2t3t4平板附近的流动7.2.1突然加速平板引起的流动突然加速平板引起的流动可以看成平面二维流动：uz＝0，/z＝0；和平行流动：uy＝uz＝0。由平行流动的连续性方程，得所以ux＝u(y，t)由于平板为无限大，在x方向为无限长，因此可以认为流动参数沿x方向不变，即/x＝0。0xxu7.2.1突然加速平板引起的流动对于压强p，有而利用y方向的N-S方程，有由此可知，在整个流动区域，压强p处处相等，为一常数。p＝p＝Const.0xp0yp7.2.1突然加速平板引起的流动x方向的N-S方程可表示为这就是突然加速平板引起的非定常流动基本方程，N-S方程中的非线性项全部消失，控制流体流动的方程变成线性方程。该方程的定解条件为初始条件：t＝0，u＝0(y≧0)边界条件：y＝0，u＝U0(t0)y，u＝0(t0)22yutu7.2.1突然加速平板引起的流动上述方程与有两个自变量(y，t)的经典热传导方程形式相同，数学上有不少方法可以用来求解这类方程，现采用相似变换法进行求解。引入无量纲自变量(相似变量)和无量纲速度由此可得ty2)(0fUu7.2.1突然加速平板引起的流动x方向的N-S方程变为或者这样，偏微分方程变成了常微分方程。上述方程的边界条件：＝0，f()＝1；，f()＝