7.3-Navier-Stokes方程的解

高等流体力学7Navier-Stokes方程的解(第3部分)7.6缓慢流动只有在一些特殊的流动条件下，才能在定解条件下求得N-S方程的精确解。除了N-S方程的精确解外，在流体力学的发展过程中，人们曾不断地寻求N-S方程的近似解。这些近似求解有：7.6缓慢流动①小Re数条件下的近似解：全部略去惯性项，全部保留粘性项；全部略去惯性项，部分略去粘性项；部分略去惯性项，全部保留粘性项。②大Re数条件下的近似解，如边界层的近似计算，将在第6章讲述。7.6.1Stokes流动这是在N-S方程中全部略去惯性项(即非线性项)的流动问题。当流体质点流动的流线(在定常流动时，与迹线重合)形状是直线(或同心圆)时，N-S方程中的惯性项(指位变惯性项)全部消失。如果不可压缩流体流动的流线形状与直线相差很小(或与同心圆周相差很小)时，则位变惯性项也很小，在近似处理时可以把它全部略去。7.6.1Stokes流动可以认为，由于惯性力与速度平方成比例，而粘性力与速度的一次方成比例，当流速很小时，粘性力在合外力中占主导地位，而且粘性力比惯性力大得多(即Re1)，近似处理时可将惯性力全部略去。这种Re1的流动在流体力学中通常称为缓慢流动或蠕动。7.6.1Stokes流动略去惯性项的N-S方程通常称为Stokes近似方程。在直角坐标系中，有0zyxzuyuxux2xx1uxpftuy2yy1uypftuz2zz1uzpftu7.6.1Stokes流动对N-S方程式分别求x、y、z的偏导数，得三式相加，得xuxpxftuxx222xx1yuypyftuyy222yy1zuzpzftuzz222zz1uu22zyx1pzfyfxft7.6.1Stokes流动由于所以当忽略质量力的作用或者质量力可视作常数(如重力场中，fx＝fy＝0，fz＝-g)时，有因此，缓慢流动中的压强p(x,y,z)是调和函数。在给定边界条件时，由上述方程，可以求得流动的压强场，进而由Stokes近似方程求出速度场。0uzfyfxfpzyx202p7.6.1Stokes流动现按照Stokes近似方程探讨球的缓慢运动问题物体在流体中作等速直线运动引起的流体运动，如果相对于固定在物体上的坐标系来说，则流体运动是定常的，在求解这类流动问题时，往往采用固定在物体上的坐标系来进行研究。这样就把物体在静止流体中作等速直线运动的问题化为无界流体对静止物体的定常绕流问题，而这无界流体的自由来流速度与物体的运动速度大小相同，方向相反。以下即用物体的绕流问题来研究球的缓慢运动。7.6.1Stokes流动设有半径为r0的物体，在充满不可压缩粘性流体的无界空间中以缓慢的速度U0作等速运动。由于球体半径r0甚小，运动速度也甚小，而运动粘性系数ν较大，因此Red0=U0d0/ν很小。Stokes认为，在小Re数的情况下，惯性力与粘性力相比有可能完全略去；此外，他假定绕流中不发生分离现象，且忽略质量力，又考虑到运动的轴对称性，即流动与φ无关，如下图所示。7.6.1Stokes流动球的缓慢运动U0zuφ=0uruuθr0r0θxφθ7.6.1Stokes流动这样，球坐标下的连续方程及N-S方程(Stokes近似方程)可简化成(1)(2)(3)0ctg12θθrrruurrurur2r2r222r2ctg21urrururrurpθ22rθ22ctg22urruurθ2θ2θ222θ2ctg211urrururrupr22θr2sin2ruur7.6.1Stokes流动方程组的边界条件为球面上(即r＝r0)：ur＝0，uθ＝0无穷远处(即r→∞)：即ur＝U0cosθ，u＝-U0sinθ，p＝p0采用分离变量法求解上述方程组。7.6.1Stokes流动由于流动的轴对称性，ur(r,θ)，u(r,θ)，所以假设方程组的解具有如下形式，以便于分离变量。(4)将此形式的解代入方程组，先求出f1(r)、f2(r)及f3(r)，再获得ur(r,θ)、u(r,θ)及p(r,θ)的具体表达式。032θ1rcossincosprfprfurfu7.6.1Stokes流动cos1rrfrucos12r2rfrusin1rrfucos12r2rfusin2θrfrusin22θ2rfrucos2θrfusin22θ2rfucos3rfrpsin3rfp7.6.1Stokes流动代入连续方程及N-S方程，得0ctgsincos1cos2cos2211rrfrfrrfrrfcos2cos1coscos11213rfrrfrrfrfsinctg2cos2cos2sinctg22122212rfrrfrrfrrfrsin2sin1sinsin22223rfrrfrrfrfrsinsin1sin2cosctg2221222rfrrfrrfr7.6.1Stokes流动即(5)(6)(7)根据待求方程组的边界条件，有(8)02211rfrfrrf042212113rfrfrrfrrfrf0221212223rfrfrrfrrfrfr000302010201fUfUfrfrf，，，7.6.1Stokes流动由连续方程(5)，得(9)(10)(11)将式(9)、(10)及(11)代入式(7)，得(12)(13)rfrfrrf11221rfrfrrf1122321rfrfrrf112221rfrfrrfrrf111232321rfrfrrfrrf1112354217.6.1Stokes流动将式(9)及(13)代入式(6)，得即(14)这是一个四阶Euler型常微分方程，如取其解的形式为f1(r)＝rk，则rfrrfrrfrfrfrrfr11111122254210888111213rfrfrrfrrfr11kkrrf211krkkrf3121krkkkrf41321krkkkkrf7.6.1Stokes流动将此关系式代入四阶常微分方程式(14)，得由于对任意的r，rk1≠0，所以解得08182183211kkkkkkkkkkrk0818312kkkkk03422kkkk0312kkkk3k1k0k2k7.6.1Stokes流动函数f1(r)的特解可取如下形式f1(r)＝r3；f1(r)＝r1；f1(r)＝1；f1(r)＝r2函数f1(r)的通解为(15)由式(9)及(12)，得(16)(17)A、B、C、D为任意常数，可以由边界条件来确定。231DrCrBrArf232222DrCrBrArfDrrBrf10237.6.1Stokes流动由f1(∞)＝U0，f2(∞)＝U0，得C＝U0；D＝0由f1(r0)＝0，f2(r0)＝0，得即00030UrBrA0220030UrBrA03021UrA0023UrB7.6.1Stokes流动于是(18)(19)(20)0030112321Urrrrrf0030214341Urrrrrf020323Urrrf7.6.1Stokes流动速度与压力分布关系式为(21)(22)(23)这是Stokes于1851年求得的结论，通常称为Stokes解。3000r21231cos,rrrrUru3000θ41431sin,rrrrUrucos23,0200Urrprp7.6.1Stokes流动现根据Stokes解计算无界不可压缩粘性流体绕过小球流动时，流体对小球的作用力。根据运动相对性原理，该作用力的大小等于小球在无界粘性流体中作匀速直线运动时的阻力。7.6.1Stokes流动根据广义Newton粘性应力公式(广义Newton内摩擦定律)，应力分布为(24)(25)(26)(27)cos3cos29204300200rrrUrrUrrprupcos231204300rθθθUrrpruurpcos23ctg204300θrUrrprurupsin2310430θθrθrrθUrrruruur7.6.1Stokes流动在球面上的应力(28)(29)下图绘出了圆球上法向应力和切向应力的分布图。由图可知，流体动压力沿流动方向按余弦曲线连续地降低，而切向应力沿圆球表面不改变符号，并按正弦曲线规律变化，在＝/2处达到最大值。cos123000rrrr0Urpsin12300rrrθ0Ur圆球绕流时球表面的应力分布r0sindrz2(p0rr)r03U02rr03U0法向应力切向应力7.6.1Stokes流动这些应力对应于流体对圆球的作用，它的合力即等于圆球在流体中以等速U0运动而方向和U0相反时，圆球所承受的阻力。根据式(28)、(29)即可求得在z方向球所受到的合力(即球所受到的阻力)。法向应力在z方向的合力为dsin2coscos23dcos000000rrrrz0rrrUpAPA00z2UrP7.6.1Stokes流动切向应力在z方向的合力为因此，圆球在粘性流体中作等速运动时的总阻力为(30)此即为著名的小Re数圆球绕流阻力的Stokes公式。dsin2sinsin23dsin00000rrθrz0rrrUAFA00z4UrF0000zzD36UdUrFPF7.6.1Stokes流动有时习惯于将圆球绕流阻力写成下列形式(31)比较式(30)及(31)，有(32)式中：Ad──物体最大迎流面积，Ad＝πd02/4；Re──物体绕流Reynolds数，Re＝U0d0/ν；CD──阻力系数。22420dD2020DDUACUdCFRe24220dDDUAFC7.6.1Stokes流动由式(30)可知，总阻力与流体粘性系数、圆