数学分析-各校考研试题及答案

2003南开大学年数学分析一、设),,(xyxyxfw其中),,(zyxf有二阶连续偏导数，求xyw解：令u=x+y,v=x-y,z=x则zvuxfffw；)1()1()1(zvzuvvvuuvuuxyffffffw二、设数列}{na非负单增且aannlim，证明aaaannnnnn121][lim解：因为an非负单增，故有nnnnnnnnnnaaaaa1121)(][由aannlim；据两边夹定理有极限成立。三、设0,00),1ln()(2xxxxxf试确定的取值范围，使f(x)分别满足：（1）极限)(lim0xfx存在（2）f(x)在x=0连续（3）f(x)在x=0可导解：（1）因为)(lim0xfx=)1ln(lim20xxx=)]()1(2[lim221420nnnxxonxxxx极限存在则2+0知2(2)因为)(lim0xfx=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2（3）0)0(f所以要使f(x)在0可导则1四、设f(x)在R连续，证明积分ydyxdxyxfl)(22与积分路径无关解；令U=22yx则ydyxdxyxfl)(22=21duufl)(又f(x)在R上连续故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=ydyxdxyxf)(22所以积分与路径无关。（此题应感谢小毒物提供思路）五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(baf且Mxf)(,证明2)(4)(abMdxxfba证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(baxfbafxfba使即有dxbaxfdxxfbaba)2)(()(222)(4])2()2([)2)((abMdxbaxdxxbaMdxbaxfbbabaaba六、设}{na单减而且收敛于0。nansin发散a)证明收敛nansinb)证明1limnnnvu其中)sinsin(kakkaukn；)sinsin(kakkakvn证：（1）因为21sin1sink而}{na单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知收敛nansin（2）因为正项级数nansin发散则)(sinnkak又由上题知有界kaksin故有1limnnnvu七、设dxxxetFtxsin)(1证明（1）dxxxetxsin1在),0[一致收敛（2）)(tF在),0[连续证：（1）因dxxx1sin收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t=0上一致收敛；又txe在x=1,t=0单调且一致有界)0,1(10txetx由阿贝尔判别法知一致收敛（2）],[0,),,0[00tt使由上题知，F（t）在],[一致收敛，且由xxetxsin在（x,t）],[),1[上连续知F（t）在],[连续所以在0t连续，由0t的任意性得证八、令)}({xfn是[a,b]上定义的函数列，满足（1）对任意0x],[ba)}({0xfn是一个有界数列（2）对任意0，存在一个)()(,],[,,0yfxfn，yxbayxnn有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({xfkn在[a,b]上一致收敛证：对任意x],[ba，)}({xfn是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为)}({xfkn，又令U=]},[),({baxxux则U为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(11mxmxxuxu于是对N能找到一,00，),,2,1(,,21mixN，nnikk有3)()(22ininxfxfkk令},,min{1mxx则由条件（2）知对上述03)()(,],,[,0lnnllxfxfn，xxxbax有对一切自然数使于是有有],[],,[,,,,0,0baxbaxNnnKtkKltk)()()()()()()()(xfxfxfxfxfxfxfxfkkklttktnlnlnlnlnnnn)()(lnnxfxftt+)()(lnlnxfxfkl+)()(xfxfkknln由柯西准则得证。2004年南开大学数学分析试题答案1.1lim)()(lim)()(')()(ln1afafaxafxfaxaxaxeeafxf2.yxfxyyfxz2,yyyxyxyxxxfxyfxyfxfxyyxffyxz3221=yyyxxxfxyfxyxff3213.即证明xxx111)1ln(2，即证xxx111)1ln(2设)(xfxxx111)1ln(2，0)0(f，2)1(1112)('xxxf0)1(22xx，0)0()(fxf，证完。4.Ddxdyyxyx)ln(2222=10252022lncossindrrrd=1052022lncossin8rdrrd=725.设P=22yx，Q=xy2，yPyxQ2，积分与路径无关，则0323dxxJ6.nennnnn1ln11lnnn,又当0时，11lnnnn收敛，当0时，级数11lnnnn发散，原题得证7.由拉格朗日定理，nfnfnfn)(')()2(，其中nnn20)()2(lim)('limnnfnffnnn，原题得证8.（1）应用数学归纳法，当1n时命题成立，若当kn时命题也成立，则当1kn时，2)(},min{1111kkkkkkkfFfFfFF，由归纳假设1kF连续。（2）（3）由)}({1xFk单调递减趋于)(xF，)}({1xFk与)(xF都连续，由地尼定理，该收敛为一致收敛。9.(1)证明：2100),,(xxxbax取02210201,,xxxxxxxx，代入式中得，)]()([)()(02020101xfxfxxxxxfxf即02020101)()()()(xxxfxfxxxfxf，所以函数00)()()(xxxfxfxg单调递增有下界，从而存在右极限，则)(0'xf00)()(lim0xxxfxfxx；4321xxxx，由题设可得32322121)()()()(xxxfxfxxxfxf4343)()(xxxfxf，即2121)()(xxxfxf4343)()(xxxfxf从而2121)()(lim12xxxfxfxx4343)()(lim34xxxfxfxx，所以导函数递增。(2)参考实变函数的有关教材。2005年南开大学数学分析试题答案0D.1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于yx2.xzfxyffdxduzyx，其中xzxy,由00xzhxyhhxzgxyggzyxzyx求出xzhghgghghxyyzzyxzzx,yzzyxyyxhghgghgh3.102123234)(411limxdxnknnkn4.txdttM1,2sin0在),0(x上单调一致趋于0，则)(xf在),0(x上一致收敛，又txtsin在),0(x上连续，则)(xf在),0(x上连续。5.由泰勒公式)!1(!1!21!111nene，则)!1()!1(!1!21!111nenene，后者收敛，则原级数收敛。6.由拉格朗日中值定理，,)('1)(122nMnMxnxfnnxfn后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。由)(xs一致收敛，则可以逐项求导，12)(')('nnnxfxs也一致收敛且连续，故)(xs连续可导7.反证：设存在),(00yx有0),)((00yxyPxQ，不妨设0),)((00yxyPxQ，由连续函数的局部保号性，知道存在一个邻域,当),(yx时0),)((yxyPxQ，则存在一个圆周,0CDQdyPdx0)(dxdyyPxQ与已知矛盾。8.当20ax时，xxfxf)('')('axa2时，xaaxfxf))(('')('，综上，)()('xgxf)2(若对任意的),0(ax有)()('xgxf，则在2ax时，)(''xf不存在，矛盾。)3(设当Ux时，0)()('xgxf当Uax\),0(时0)()('xgxf，两边对x积分即可6.))(()()(000xxxgxgxf，))(()()(00xxxgxfxf，由)(xg在),(ba上有定义，则)(xg在),(ba上有界，则可以得到)(xf在),(ba上连续。210)2(xxx，则121210101)()()()()(xxxfxfxgxxxfxf，则02020101)()()()(xxxfxfxxxfxf则00)()(xxxfxf单调递增有下界，存在右极限，)(0'xf存在，同理)(0'xf存在，由极限的保不等式性可得2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案1.)1ln(lim)ln(lim00xABxxBxAxexAee（1）当0AB时，)1ln(lim)ln(lim00xABxxBxAxexAee当0A时，)1ln(lim)ln(lim00xABxxBxAxexAee当0A时，)1ln(lim)ln(lim00xABxxBxAxexAee当0A时，0)1ln(lim)ln(lim00xABxxBxAxexAee（2）当0AB时，20000limlim)1ln(lim)ln(limxBAeAxAeexAeexABxxABxxABxxBxAx=0lim)(2)(2xBAxexBAA（3）当0AB时，xAeeexxAxxBxAx2lnlim)2ln(lim)ln(lim000当0A时，xAeeexxAxxBxAx2lnlim)2ln(lim)ln(lim000当0A时，xAeeexxAxxBxAx2lnlim)2ln(lim)ln(lim000当0A时，2ln2lnlim)2ln(lim)ln(lim000xAeeexxAxxBxAx2.当0时，0)(lim0xfx，从而)(xf连续；当1时，01sinlim)0('10xxfx，)0('f存在；当2时，xxxxxf1cos1sin)('210)('lim0xfx,3.即证：yxxxyyxyyxxylnlnlnln，ytttyytflnlnlnln)(，0)1(f，0)(yfytytfln1)('当yt1时，设)(ygytyln1，011)('ytyg，0)1()(gyg，所以0ln1)('ytytf0)1()(ftf，当10yt时，设)(ygytyln1，011)('y