圆周率的历史作用

课程论文首页院、系（部）数学系专业数学与应用数学班级数本072学号710401237姓名武彦国课程教师林丽芳课程名称数学思想史论文题目圆周率的历史作用成绩评语签字：年月日复核人意见签字：年月日1圆周率的历史作用武彦国中文摘要：圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例。它是一个无理数，即是一个无限不循环小数。圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。关键词：圆周率π圆的周长与直径之比是个与圆的大小无关的一个常数，人们称之为圆周率。巴比伦人最早发现了圆周率。1600年，英国威廉奥托兰特首先使用pi表示圆周率，因为pi是希腊之“圆周”的第一个字母。1706年，英国的琼斯首先使用pi。1737年，欧拉在其著作中使用，后来被数学家广泛接受，一直沿用至今。pi是一个非常重要的常数，一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志，古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过值的计算方法。从埃及道巴比伦到中国一直都在对圆周率的精确值做出研究。早期的测算中人们使用了很粗糙方法。古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值。在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛。刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。他得到一些关于圆周率的并不划一的近似值，分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。转图为汉莽新嘉量铭文2公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出pi值的正确求法。他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得pi。这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前150年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径）给出了pi的近似值3.1416。公元200年间，我国数学家刘徽在注释《九章算术》中独立发现了用几何方法求圆周率的方法，称之为“割圆术”。刘徽由正六边形开始，不断倍增正多边形的边数。正六边形正十二边形正二十四边形正四十八边形边数越多越接近圆，最后刘徽求得π≈3.1416。刘薇与阿基米德的方法有所不同，他只从圆内接正六边形入手，也是不断将边数加倍，只是刘薇用正多边形的面积逼近圆的面积。刘薇认为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”包含有朴素的极限思想。公元460年，南朝的祖冲之利用刘薇的割圆术，把值算到小数点后第七位3.1415926。这个具有七位小数的圆周率当时是世界首次，祖冲之还找到了两个分数22、7和355、113。用分数来代替pi，极大地简化了计算，这种思想比西方早一千年。可见当时的中国数学家对圆周率的值作了比较的精确计算为中国日后的数学发展起着举足轻重的作用。1579年法国韦达发现了关系式，首次摆脱了几何学的陈旧方法，寻求到了pi的解析表达式。1650年瓦里斯把pi表示成无穷乘积，无穷连分数，无穷级数等各种值表达式纷纷出3现，值计算精度也迅速增加。稍后，莱布尼茨发现接着欧拉证明了这些公式的计算量都很大。尽管形式非常简单，pi值的计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式。1706年英国数学家麦欣首先发现了其计算速度远远超过方典算法。某个古代文牍员以不同长度的半径画了一些圆，他取了每个圆的直径（将半径加倍）只是为了好玩。他决定以每个圆的直径为单位长度在圆周上丈量。令人惊奇的是，不管圆的大小如何，圆周总是直径的3倍多一点。由于pi与圆的特殊关系，故数学家设计用来计算出圆的面积和周长的新方法。对于计算各种数量，例如体积，面积，周长以及任何与圆，圆柱，圆锥，球有关的数量。是必要的且只要pi=3.14。本世纪五十年代以后，圆周率pi的计算开始借助于电子计算机，从而出现了新的突破。目前有人宣称已经把pi计算到了亿位甚至十亿位以上的有效数字。在科学领域计算中，圆周率一般要求10位数值已够用。如用它计算地球的周长，误差只以厘米计。更精密的计算最多需要的30位数值。因此，人们孜孜以求圆周率的多位数值已非实际需要。现在计算的几百万位小数多是为了验证计算公式的效能和计算机将依靠来检验它们的能力，并测试它们的准确度和速率。当然也有打破原记录的心情驱使，世界记录毕竟是人类向往的目标之一。人们试图从统计上获悉的各位数字式否有某种规律。竞争还在继续，正如有人所说，数学家探索中的进程也像这个数一样：永不循环，无止无休。在进行计算的同时，数学家们对圆周率的理论性质进行了研究。1761年，数学家兰伯特证明了pi是一个无理数，即它是一个无限不循环的小数，不能表示成任何两个整数之比。1794年，法国数学家勒让德又证明pi是无理数，1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率是一个超越数，即它不是任何一个整系数代数多项式方程的根。林德曼也因此间接解决了困惑人们两千多年的化圆为方问题，说明了该问题尺规作图的不可能性。还有人对与其它数字的联系进行研究。如1929年，苏联数学家格尔丰德证明了pi是超越数。随着数学的不断发展，的应用不再局限于求圆的面积和周长，椭圆，萁舌线，旋轮线等面积公式中也都出现了pi值。此外，一些函数的定义，积分的计算，指数的构成等都要用到pi。例如，1777年，法国数学家蒲丰研究投针问题，将一根长为l的的针任意投到画有间距为a(al)的平行线的平面上，他得到得结论是：该针与任一平行线相交的概率是p=2l/api，圆周率与随机现象产生了密切联系即pi在概率中也有作用。在数学中还有一个重要公式pi=4log(1-i/1+i)^i/2将圆周率与虚数单位i联系起来。1740年，欧拉进一步得到关系式e^ipi+1=0，将数学中5个重要的数学最重要的两个运算符号统一在一个公式中，4令人拍案叫绝！在数论中，法国人沙特尔1904年得到一个定理：任一写下两个整数，则它们互素的概率是6、pi，一个简单的圆周率pi几乎无所不在。为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对π的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢？这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因。1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。2、计算的方法和思路可以引发新的概念和思想。π的故事讲述的是人类的胜利，而不是机器的胜利。3、还有一个关于π的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去？4、作为一个无穷数列，数学家感兴趣的把π展开到上亿位，能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题，可以发现许多迷人的性质。如，在π的十进展开中，10个数字，哪些比较稀，哪些比较密？π的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗？或许它们并非完全随意？这样的想法并非是无聊之举。只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单，许多人司空见惯但却不屑发问的问题。在这方面，还有如下的统计结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字，这恰是的前八位；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了。如果继续下去，看来各种类型的数字列组合可能都会出现。背诵圆周率能够锻炼人的记忆力，我国桥梁专家茅以升年轻时就能背诵圆周率锻炼记忆力。晚年时仍能轻松地背出圆周率的100位数值。可见圆周率pi不仅与我们身边的数学紧密相连更与我们的生活息息相关。俗话说得好，“有理走遍天下，无理寸步难行”圆周率pi就好比这个“理”。有了圆周率pi不仅解决了困惑众多数学家的三大著名几何问题之一的化圆为方的不可能性更为后续的数学研究奠定了基础。参考文献：[1].李文林.数学史概论:北京：高等教育出版社，2002年8月[2].王树禾.数学思想史；北京：国防工业出版社，2003年1月