ch15-02一般周期函数的傅里叶级数

第二节以2l为周期的函数的傅里叶展开第15章*二、傅里叶级数的复数形式一、以2l为周期的函数的傅里叶级数数学分析2目录上页下页返回结束一、以2l为周期的函数的傅里叶级数周期为2l函数f(x)周期为2函数F(t)变量代换lxt将F(t)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式数学分析3目录上页下页返回结束设f(x)是以2l为周期的函数，则它的傅里叶naxlxnxflbllndsin)(1其中定理.l1xlxnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n展开式为数学分析4目录上页下页返回结束证明:lxt,则令,)(tlf则))2(()2(tlftF)2(ltlf)(tlf所以那么F的傅里叶展开式为:)(xf变成是以2为周期的周期函数,令数学分析5目录上页下页返回结束ttntFandcos)(1其中ttntFbndsin)(1令lxtlan1xlxnxflbllndsin)(1),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(nxlxnxflldcos)(证毕.数学分析6目录上页下页返回结束说明:1)如果f(x)按段光滑，则有数学分析7目录上页下页返回结束2)),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中如果f(x)为偶函数,则有),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中如果f(x)为奇函数,则有数学分析8目录上页下页返回结束例1.(－1,1]上的表达式为10010xxxxf将f(x)展开成傅里叶级数，并作出级数和函数的图形.0121233x)(xf1设函数f(x)是周期为2的周期函数，它在区间0a2110xdxna10cosxxdnx1010sinsin1xdxnxnxn1cos122nn]11[122nn,2,1n解：数学分析9目录上页下页返回结束nb10sinxxdnx1022]cossin1[xnnxxnnnnnn11cos1,2,1n]sin)1(cos1)1([41)(1122xnnxnnxfnnn,2,1,012,kkxx数学分析10目录上页下页返回结束由收敛定理可知]sin)1(cos1)1([411122xnnxnnnnn0121233xxS1故级数和函数的图形为数学分析11目录上页下页返回结束)(tfto0d)1sin()1sin(ttntn例2.经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解:这个半波整流函数2,它在na0dcossinttntE傅里叶级数.上的表达式为的周期是交流电压22数学分析12目录上页下页返回结束000d2sintt时1n0d)1sin()1sin(ttntn2Eantnn)1cos()1(12E0tnn)1cos()1(1111)1(111)1(21nnnnEnn)1(1)1(21nEn,)41(22kEkn2数学分析13目录上页下页返回结束tttEbdsinsin01ttntnEd)1cos()1cos(20)1()1sin(2ntnEbn0)1()1sin(0ntn022sin2ttEn1时数学分析14目录上页下页返回结束由于半波整流函数f(t)Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212直流部分说明:交流部分由收收敛定理可得2k次谐波的振幅为k越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.to)(tf22数学分析15目录上页下页返回结束例3.展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有2oyx2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos414)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在x=2k处级数收敛于何值?将数学分析16目录上页下页返回结束2oyx(2)将作偶周期延拓,2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xxa则有1222)12(cos)12(181kxkk)20(x数学分析17目录上页下页返回结束例4.期的傅里叶级数,并由此求级数解:y1ox12为偶函数,1)1(222nn因f(x)周期延拓后在展开成以2为周]1,1[x的和.故得数学分析18目录上页下页返回结束得故8)12(1212kk121nn62]1,1[x数学分析19目录上页下页返回结束注:方法1令,2abzx即2abxzzabzfxfzF,)2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:当函数定义在任意有限区间上时,数学分析20目录上页下页返回结束方法2令zazfxfzF,)()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将代入展开式axz在即axz上的正弦或余弦级数数学分析21目录上页下页返回结束)(zFz55例5.展成傅里叶级数.解:令设)55()10()()(zzzfxfzF将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故5052zbnzznd5sinnn10)1(),2,1(n则它满足收敛定5sin)1(10)(1znnzFnn)55(z将函数数学分析22目录上页下页返回结束利用欧拉公式*二、傅里叶级数的复数形式设f(x)是周期为2l的周期函数,则lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxf2nbi1022nnnbiaa2nnbialxnielxnie0cncnc数学分析23目录上页下页返回结束llxfl)(21llxxfld)(21200acllxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2,1(dnxlxnie注意到2nnnbacxd同理),2,1(nlxnie数学分析24目录上页下页返回结束傅里叶级数的复数形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf2)(),2,1,0(n因此得数学分析25目录上页下页返回结束式的傅里叶级数.例6.解:在一个周期它的复数形式的傅里叶系数为Th内矩形波的函数表达式为022d)(1TTttuTc22Toyx22Th把宽为,高为h,周期为T的矩形波展成复数形数学分析26目录上页下页返回结束tetuTTtnid)(1222222d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n2inTThTniTnieeinh21Ttnie222数学分析27目录上页下页返回结束为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a(x间断点)其中xlxnxfllldcos)(1xlxnxfllldsin)(1),1,0(n),2,1(n当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓*3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出数学分析28目录上页下页返回结束思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.,,时nnbakkba或则必须单独计算.数学分析29目录上页下页返回结束作业P771(1),(3);2;4;6.第三节收敛定理的证明第15章二、收敛定理的证明一、预备定理数学分析31目录上页下页返回结束122220)(1)(2nnndxxfbaa上可积，在若函数],[f则.的傅立叶系数为，其中fbann预备定理1(贝塞耳(Bessel)不等式)证：令考察积分数学分析32目录上页下页返回结束利用三角函数系的正交性，又有数学分析33目录上页下页返回结束所以因而进而122220)(1)(2nnndxxfbaa数学分析34目录上页下页返回结束为可积函数，则：若f为可积函数，则：若f,0cos)(limnxdxxfn,0sin)(limnxdxxfn0,0)21sin()(limxdxnxfn0,0)21sin()(limxdxnxfn推论1推论2数学分析35目录上页下页返回结束预备定理2为周期的函数，是以若2)(xfd2sin2)21sin(n)(1)(ttttxfxSn][-，且在:)(可写成和则它的傅立叶级数部分xSn上可积，定式由极限时，被积函数中得到不当0t212sin2)21sin(nlim0nttt.来确定数学分析36目录上页下页返回结束收敛定理的证明.x只要证明在每一点处下述极限成立：0)](2)0()0([limxSxfxfnn2)0()0([limxfxfn0]2sin2)21sin()(1dtttntxf证:数学分析37目录上页下页返回结束00]2sin2)21sin()(12)0([limdtttntxfxfn00]2sin2)21sin()(12)0([limdtttntxfxfn或同时证明有：）（*数学分析38目录上页下页返回结束）式成立，由下证（*两边积分有：2sin2)21sin(cos211ttnktnk1)cos21(12sin2)21sin(11dxkxdxxxnnk:)0(后得到因此两边乘以由上式左边为偶函数，xf02sin2)21sin()0(12)0(dtttnxfxf数学分析39目录上页下页返回结束）式可改写为：从而（*02sin2)21sin()]()0([1lim0dtttntxfxfn2sin2)0())(txftxft(令)0(1)0()(lim0xfxftt数学分析40目录上页下页返回结束.0)0()0(右连续在点，则函数再令txf,],0[类间断点上至多只有有限个第一在因为,21.],0[的推论根据预备定理上可积在所以