利用Matlab模拟带电粒子在磁场中的运动

利用Matlab模拟带电粒子在磁场中的运动一、实验目的1、理解数值模拟研究物理问题的思路，能独立地运用此方法研究物理问题，掌握数值模拟的编程。2、运用Matlab数值模拟的方法研究三维空间中带电粒子在复杂磁场环境下的运动行为。二、实验原理带电粒子在磁场中运动时会受到洛伦兹力的作用，且随着初始运动方向和磁场分布的不同，其运动轨迹会发生不同的变化。由洛伦兹力的推导公式可知，它垂直于粒子的运动速度，不对运动粒子作功，只改变其运动方向，其大小为：sinFqBνθ=；因此，综合牛顿运动定律就可以精确确定带电粒子在磁场中的运动轨迹。三、实验内容1．用Matlab数值模拟的方法模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动，即带电粒子进入磁场的方向与磁场方向的角度θ（°900θ）。（1）带电粒子质量为m,电量为q(q0)的带电粒子在均匀稳定的电磁场中的运动微分方程为:2mdrqEqvB=+×（1）以电磁场中某点为原点,以E为Oy方向，B为Oz方向建立坐标系Oxyz−。由于/qBmω=，则(1)式的投影方程为:2222220dxdydtdtdyqEdxdtmdtdzdtωω==−=（2）将其转换为一阶微分线性方程组,以便用差分替代微分作数值计算,令1wx=，2/wdydx=，3wy=，4/wdydt=，5wz=，6/wdzdt=，则(2)式化简为:122434425660dwwdtdwwdtdwwdtdwqEwdtmdwwdtdwdtωω====−==（3）下面使用MATLABR2009b编写程序，分三种情况考虑:①电场强度和磁场强度都不为零；②电场强度为零,磁场强度不为零；③电场强度不为零,磁场强度为零。源程序如下:%分3种情况模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动globalqmbeq=1.6e-2;m=0.02;b=[2;1;0];e=[1;0;1];figurestrd{1}='e\neq0,b\neq0';strd{2}='e=0,b\neq0';strd{3}='e\neq0,b=0';fori=1:3[t,w]=ode23(@ddlzfun,[0:0.01:20],[0,0.01,0,6,0,0.01],[],q,m,b(i),e(i));axes('unit','normalized','position',[0.045+(i-1)*0.350.0620.27860.6583]);plot3(w(:,1),w(:,3),w(:,5),'linewidth',2);gridontitle(strd{i},'fontsize',12,'fontweight','demi');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');view([-51,18]);endfunctionwdot=ddlzfun(t,w,q,m,b,e)%该函数实现(3)式的差分迭代symsqmbeq=1.6e-2;m=0.02;b=[2;1;0];e=[1;0;1];wdot=[w(2);q.*b.*w(4)./m;w(4);q.*e./m-q.*b.*w(2)./m;w(6);0]运行以上程序得到该带电粒子在均匀稳定的电磁场中的运动轨迹如图1所示。图1带电粒子在均匀稳定的电磁场中的运动轨迹（2）当v与B有一定夹角θ时，可将v分解为：//cosvvθ=，sinvvθ⊥=（即0,0,0xyzvvv≠≠≠）。若只有分量v⊥，带电粒子将在垂直的平面内作匀速圆周运动，若只有分量//v，粒子将沿磁场B方向作匀速直线运动，当两分量同时存在时，带电粒子的运动轨迹将是一条螺旋线。使用MATLABR2009b数值模拟的方法编写程序，源代码如下：%用Matlab数值模拟的方法模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动functionlxglobalqmB[t,y]=ode45(@ddlzfun,[0:0.01:20],[0,0.01,0,6,0,0.01],[],q,m,B,0);%用ode23解微分方程组，时间设为20s%指定初始条件，传递相关参数comet3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5));gridon%开启坐标网格线xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');title('模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动');functionydot=ddlzfun(t,y,q,m,B,E)%q,m,B,E为参量symsqmBq=1.6e-2;B=2;m=0.02;ydot=[y(2);q*B*y(4)/m;y(4);-q*B*y(2)/m;y(6);0];运行以上程序，得到带电粒子的运动轨迹（螺旋线）如图2所示。图2带电粒子的运动轨迹（螺旋线）2．用Matlab数值模拟的方法模拟磁聚焦现象，即在均匀磁场中某点引入一发散角θ不大的带电粒子束，并使束中粒子的速度v大致相同。对图2所示的螺旋线进行简单的分析：其螺距为：////2mvhvTqBπ==，带电粒子运动一周所前进的距离与v⊥无关，所以若从磁场中某点A发射出一束很窄的电子流，使他们的速度很接近，并且与B的夹角都很小，则//cosvvvθ=≈。它们具有近似相同的螺距h，尽管它们的sinvvvθθ⊥=≈不同，各粒子会沿着不同的半径作螺旋线运动，但各粒子在经过距离h后又会重新聚在一起，这就是磁聚焦现象。用Matlab数值模拟的方法编写如下的源程序模拟磁聚焦现象：%用Matlab数值模拟的方法模拟磁聚焦现象t=0:0.01:2*pi;a1=0.5.*(t-pi);form=[-16:2:10]*pi/180;axis([07-11-0.40.4]);gridon;view(12,18);holdon;comet3(cos(m).*t,2*sin(m).*cos(a1).^2,2*sin(m).*cos(a1).*sin(a1));plot3(cos(m).*t,2*sin(m).*cos(a1).^2,2*sin(m).*cos(a1).*sin(a1));endxlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');title('模拟磁聚焦现象')以上程序中默认粒子入射速度相同，运行结果是一束带电粒子做螺旋运动的三维动画,我们可以从不同的视角进行观察,并可发现当发散角不大时粒子确实会聚到同一点,如图3；在平行磁场方向可以看到粒子做圆周运动,如图4所示。图3模拟磁聚焦现象图4磁聚焦现象（Y-Z方向）四、实验总结由于电磁场看不见，摸不着，它不像普通的“三态”物质那样由原子、分子构成，也没有可见的形态，但其具有可以被检测的运动速度、能量和动量，占有空间，是一种真实的客观存在。实验中通过MATLAB数值模拟模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动和磁聚焦现象，让我们对带电粒子在磁场中的运动有了更深的感性认识，用MATLAB画出的立体图也更有利于对此的理解，对于对应知识的理解和吸收有很大的帮助。运用数值模拟方法作出的螺旋线运动和磁聚焦现象的轨迹不仅生动形象,而且结果是建立在定量计算的基础上的,不是简单的定性的模拟,因此更具有科学性与说服力。五、参考文献[1]宿刚，郑敏章，丛令梅.Matlab在大学物理课程教学中的应用.浙江海洋学院学报：自然科学版，2008,27(2):241-245；[2]张亚琴,钱椿林.Matlab仿真带电粒子在匀强正交电磁场中运动.苏州市职业大学学报:2007,18(2):84-85；[3]任海林.带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动分析与编程演示