2019届高考数学专题二-函数零点总结-练习题及答案

1专题二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在1,上的函数ln2fxxx，求证：fx存在唯一的零点，且零点属于3,4．【答案】见解析【解析】111xfxxx，1,x，0fx，fx在1,+单调递增，31ln30f，42ln20f，340ff，03,4x，使得00fx因为fx单调，所以fx的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数fx满足3fxfx，当1,3x，lnfxx，若在区间1,9内，函数gxfxax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．ln31,3eB．ln31,93eC．ln31,92eD．ln3ln3,93【答案】B【解析】33xfxfxfxf，当3,9x时，ln33xxfxf，所以ln13ln393xxfxxx，而gxfxax有三个不同零点yfx与yax有三个不同交点，如图所示，可得直线yax应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea23．零点的性质例3：已知定义在R上的函数fx满足：2220,121,0xxfxxx，且2fxfx，252xgxx，则方程fxgx在区间5,1上的所有实根之和为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可发现fx在1,1关于0,2中心对称，由2fxfx可得fx是周期为2的周期函数，则在下一个周期3,1中，fx关于2,2中心对称，以此类推。从而做出fx的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看gx图像，251222xgxxx，可视为将1yx的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至2,2，刚好与fx对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点123xxx，其中23x，1x与3x关于2,2中心对称，所以有134xx。所以1237xxx．故选C．34．复合函数的零点例4：已知函数243fxxx，若方程20fxbfxc恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A．2,0B．2,1C．0,1D．0,2【答案】B【解析】考虑通过图像变换作出fx的图像（如图），因为20fxbfxc最多只能解出2个fx，若要出七个根，则11fx，20,1fx，所以121,2bfxfx，解得：2,1b．一、选择题1．设ln2fxxx，则函数fx的零点所在的区间为（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4【答案】B【解析】∵1ln11210f，2ln20f，∴120ff，∵函数ln2fxxx的图象是连续的，且为增函数，∴fx的零点所在的区间是1,2．故选B．2．已知a是函数12log2xxfx的零点，若00xa，则0fx的值满足（）A．00fxB．00fx4C．00fxD．0fx的符号不确定【答案】C【解析】fx在(0,)上是增函数，若00xa，则00fxfa．3．函数2()2fxxax的一个零点在区间1,2内，则实数a的取值范围是（）A．1,3B．1,2C．0,3D．0,2【答案】C【解析】因为fx在(0,)上是增函数，则由题意得()()12030ffaa，解得03a，故选C．4．若abc，则函数()()()()()()fxxaxbxbxcxcxa的两个零点分别位于区间（）A．(),ab和(),bc内B．(,)a和(),ab内C．(),bc和(),c内D．(,)a和(),c内【答案】A【解析】∵abc，∴()()0faabac，()()0fbbcba，()()0fccacb，由函数零点存在性定理可知，在区间(),ab，(),bc内分别存在零点，又函数fx是二次函数，最多有两个零点．因此函数fx的两个零点分别位于区间(),ab，(),bc内，故选A．5．设函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时，e3xfxx，则fx的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为函数fx是定义域为R的奇函数，所以00f，即0是函数fx的一个零点，当0x时，令3e0xfxx，则e3xx，分别画出函数1exy和23yx的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数fx有一个零点，5根据对称性知，当0x时函数fx也有一个零点．综上所述，fx的零点个数为3．故选C．6．函数2201ln0xxxxxfx的零点个数为（）A．3B．2C．7D．0【答案】B【解析】方法一：由0fx得2020xxx或2020xxx，解得2x或ex，因此函数fx共有2个零点．方法二：函数fx的图象如图所示，由图象知函数fx共有2个零点．7．已知函数1010xxxfx，则使方程xfxm有解的实数m的取值范围是（）A．1,2B．(],2C．()(),12,D．(][),12,【答案】D【解析】当0x时，xfxm，即1xm，解得1m；当0x时，xfxm，即1xmx，解得2m，即实数m的取值范围是(][),12,．故选D．68．若函数312fxaxa在区间()1,1内存在一个零点，则a的取值范围是（）A．1,5B．1,1,5C．11,5D．(),1【答案】B【解析】当0a时，1fx与x轴无交点，不合题意，所以0a；函数312fxaxa在区间()1,1内是单调函数，所以0(11)ff，即()(10)51aa，解得1a或15a．故选B．9．已知函数00e0xxxfx，则使函数gxfxxm有零点的实数m的取值范围是（）A．0,1B．(1),C．(](),12,D．(](),01,【答案】D【解析】函数gxfxxm的零点就是方程fxxm的根，画出0e0xxxhxfxxxx的大致图象（图略）．观察它与直线ym的交点，得知当0m或1m时，有交点，即函数gxfxxm有零点．故选D．10．已知fx是奇函数且是R上的单调函数，若函数221()()yfxfx只有一个零点，则实数的值是（）A．14B．18C．78D．38【答案】C【解析】令2()21(0)yfxfx，则2()())21(fxfxfx，因为fx是R上的单调函数，所以221xx，只有一个实根，即2210xx只有7一个实根，则1810()，解得78．11．已知当0,1x时，函数21()ymx的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．(0,1][23,+)B．0,13[),C．(0,2][23,+)D．(0,2][3,+)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数2221()(1)fxmxmxm与()gxxm的大致图象．分两种情形：（1）当01m时，11m，如图①，当0,1x时，fx与gx的图象有一个交点，符合题意．（2）当1m时，101m，如图②，要使fx与gx的图象在0,1上只有一个交点，只需11gf，即211()mm，解得3m或0m（舍去）．综上所述，[0,13),m．故选B．12．已知函数yfx和ygx在2,2的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程0fgx有且只有6个根（2）方程0gfx有且只有3个根（3）方程0ffx有且只有5个根（4）方程0ggx有且只有4个根8则正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数．（1）中可得12,1gx，20gx，31,2gx，进而1gx有2个对应的x，2gx有2个，3gx有2个，总计6个，（1）正确；（2）中可得12,1fx，20,1fx，进而1fx有1个对应的x，2fx有3个，总计4个，（2）错误；（3）中可得12,1fx，20fx，31,2fx，进而1fx有1个对应的x，2fx有3个，3fx有1个，总计5个，（3）正确；（4）中可得：12,1gx，20,1gx，进而1gx有2个对应的x，2gx有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有3个．二、填空题13．函数052log||xfxx．的零点个数为________．【答案】2【解析】由0fx，得0.51|log|2xx，作出函数105log||yx．和212xy的图象，9由上图知两函数图象有2个交点，故函数fx有2个零点．14．设函数31yx与2212xy的图象的交点为00(,)xy，若0,1()xnn，n，则0x所在的区间是______．【答案】1,2【解析】令2312xfxx，则00fx，易知fx为增函数，且10f，20f，∴0x所在的区间是1,2．15．函数22026ln0fxxxxxx的零点个数是________．【答案】2【解析】当0x时，令220x，解得2x（正根舍去），所以在(0],上有一个零点；当0x时，1'()20fxx恒成立，所以fx在(0,)上是增函数．又因为22ln20f，3ln30f，所以fx在(0,)上有一个零点，综上，函数fx的零点个数为2．16．已知函数23||fxxx，Rx，若方程1|0|fxax恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________．【答案】0,19(),【解析】设21|3|yfxxx，2|1|yax，在同一直角坐标系中作出21||3yxx，2|1|yax的图象如图所示．10由图可知1|0|fxax有4个互异的实数根等价于21||3yxx与2|1|yax的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以231yxxyax有两组不同解，消去y得2)0(3xaxa有两个不等实根，所以2()340aa，即21090aa，解得1a或9a．又由图象得0a，∴01a或9a．三、解答题17．关于x的二次方程21()10xmx在区间0,2上有解，求实数m