浙江省月自考近世代数试卷

1/9近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A=B=R（实数域），:a→2a+1a∈A则是从A到B的()A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.在整数集Z中，Z的代数运算aob=为奇数时当为偶数时当aaaa1()A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律3.下列关系，______是整数集Z中元素之间的等价关系.()A.大于B.大于或等于C.整除D.同余4.下列集合对所给运算作成群的是()A.非零有理数的全体对普通数的加法B.非零有理数的全体对普通数的减法C.非零有理数的全体对普通数的乘法D.非零有理数的全体对普通数的除法5.设R=Zcbabca,,0，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是()A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.在5次对称群S5中，(134)2(3512)-1=______.7.6阶循环群有______个生成元.8.任何一个群都同一个______同构.9.模6的剩余类环Z6的子环个数等于______.10.偶数环有______个单位元.11.设F是有四个元的域，则F的特征为______.2/912.一个主理想环的非零最大理想都是由一个______所生成.三、解答题（本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）15.设R={a·i|a为实数，i=1}，问R关于普通数的加法和乘法是否构成环？为什么？16.找出模14的剩余类加群Z14的所有子群，并找出Z14的全部生成元.17.假定R是由所有复数a+bi(a,b是整数)组成的环，求商环R/（1+i）.四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.设G是一个非交换群，求证：G中存在两个不同的非单位元a和b，满足ab=ba.19.假定H是群G的子群，N是G的不变子群，证明:HN是G的子群.20.设A=Zcbacba,,0关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明:A1=Zcaca,00是A的子环，找出A到A1的一个同态满射f,并求f的核kerf.近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.以下关系中，哪个不是所给集合元间的等价关系?()A.在有理数集Q中关系～：a～ba-b∈ZB.在复数集C中关系～：a～b|a|=|b|C.在实数集R中关系～：a～ba≤bD.在实数集R中关系～：a～ba=b2.设A=Z，D=Z+，σ∶n|→0,120),1(2nnnn则σ是Z到Z+的()A.单射B.满射C.一一映射D.不是映射3.在实数集R中定义代数运算aob=a+b+ab，则这个代数运算()A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是()A.非零有理数的全体Q*对普通数的加法B.非零有理数的全体Q*对普通数的减法C.非零有理数的全体Q*对普通数的乘法D.非零有理数的全体Q*对普通数的除法3/95.设R=Zdcbadcba,,,，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是()A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设A={a,b,c,d,e}，则A的子集共有________个.7.在4次对称群S4中，(143)2(132)-1=________.8.模12的剩余类加群Z12的生成元有________个.9.设Z6是模6的剩余类环，则Z6中的零因子是________.10.模p(素数)的剩余类环Zp的特征为________.11.剩余类环Z17的可逆元有________个.12.在高斯整环Z［i］={a+bi|a,b∈Z}中,主理想(1+i)＝________.三、解答题（本大题共3小题，第16小题9分,第17、18小题各10分，共29分）16.找出3次对称群S3的所有子群,这些子群中哪些是S3的不变子群?17.设群G=Z18子群H=(［6］),(1)商群G/H=?(2)商群G/H与怎样的一个群同构?18.设R=Zbaba,00关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=Zxx000，证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？四、证明题（本大题共3小题，第19、21小题每小题8分，第20小题10分，共26分）19.设R为全体实数组成的加法群,R+表示全体正实数组成的乘法群,则R+与R同构.20.设M2(Q)是有理数域Q上的二阶矩阵环,证明:M2(Q)只有零理想与单位理想,但不是除环.21.证明：3-2i是高斯整环Z［i］={a+bi|a,b∈Z}的素元.近世代数试卷一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A={a,b,c,d},则A的一一变换共有______个.()4/9A.4B.16C.24D.642.设A={所有实数x}，A的代数运算a。b=a+b+ab()A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律3.设A={所有有理数x}，A的代数运算是普通加法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是()A.x→|x|B.x→2xC.x→x2D.x→|x|4.在非零复数乘法群C*中，阶为2的元有______个.()A.0个B.1个C.2个D.3个5.设M2(R)=为实数域R,Rba,00ba按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是()A.有单位元的交换环B.无单位元的变换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.模8的剩余类加群Z8有__________个生成元.7.若α=(123)(45),β=(2345),则βα-1=__________.8.设循环群G=(a),如果a的阶为n,则G同构于__________.9.整数环有__________个可逆元.10.剩余类环Z5的零因子个数等于__________.11.剩余类环Z6的子环有__________个.12.整环I={所有复数a+b5(a,b是整数)},则I的单位是__________.三、解答题(本大题共3小题，第15小题6分，第16小题14分，第17小题12分，共32分)15.若A={a,b,c,d}对于代数运算“o”来说作成群,且除单位元以外,每个元的阶都是2,试作出A的代数运算表.16.找出模12的剩余类环Z12的所有子环,这些子环是否都是理想?为什么?17.偶数环2Z的主理想(4)含有哪些元?2Z/(4)含有哪些元?2Z/(4)是否为域?为什么？四、证明题(本大题共3小题，第18小题6分，第19,20小题各10分，共26分)18.若F是一个有四个元的域,则F的特征是2.5/919.证明:阶为pm的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.20.设m,r是取定的正整数,且r|m.用符号a表示Zm中a所在的剩余类,［a］表示Zr中a所在的剩余类,令f:a［a］,证明:(1)f是Zm到Zr的同态满射.(2)求kerf.(3)Zm/kerf是怎样的环?近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？()A.关系～：a～ba2+b2=1B.关系～：a～ba≤bC.关系～：a～ba=2bD.关系～：a～ba=b2.设A是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定：σ(f(x))=(x2+1)f(x),f(x)∈A,则σ是A的()A.满变换B.单变换C.一一变换D.不是A的变换3.在有理数集Ｑ上定义代数运算ab=(a+b)2，则这个代数运算()A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是()A.全体实数对普通数的加法B.全体实数对普通数的减法C.全体实数对普通数的乘法D.全体实数对普通数的除法5.设ZbabaR,00，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是()A.有单位元的可换环B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6/96.设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.7.在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=______.8.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则H(23)＝______．9.设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是______．10.剩余类环Z15的可逆元有______个.11.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的主理想(x2)＝______．12.整环I＝｛所有复数a+b2(a,b是整数)｝，则I的单位是______．三、解答题（本大题共小3题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）15.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的并∪是否构成群？为什么？16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.17.设ZbabaR,00关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=Zxx000证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.设G是一个群，a∈G证明：a与a-1的阶相同.19.设G=)(QMn={有理数域上所有n阶可逆矩阵}，H={A|A∈G,|A|=1}证明：H是G的不变子群．近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有4个元素，那么积集合A×A中含有______个元素．()A.4B.8C.12D.162.设R是整数集，A=R×R，σ∶(x,y)→(x,-y)，则σ是A的()A.满变换B.单变换7/9C.一一变换D.不是A的变换3.在有理数集Ｑ中的代数运算ab=b2()A.适合结合律但不适合交换律B.不适合结合律但适合交换律C.既适合结合律又适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律4.在4次对称群S4中，阶为2的元有()A.6个B.7个C.8个D.9个5.除环的理想有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.剩余类加群Z4有______个生成元.7.在4次对称群S4中，(123)(1