空间角的求法精品(优秀教案)

1/8PCDBA空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：090（一）平移法【例1】已知四边形ABCD为直角梯形，//ADBC，90ABC，PA平面AC，且2BC，1PAADAB，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小。【解】过点C作//CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角。2CEBD，且2210PEPAAE由余弦定理得2223cos26PCCEPEPCEPCCEPC与BD所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。求异面直线1AB与1BC所成角的余弦值。【答案】125A1C1CBAB1D2/8ABCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，点P在平面ABC内的射影O在AB上，求直线PC与平面ABC所成的角的大小。【解】连接OC，由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成角设AB的中点为D，连接,PDCD。ABBCCA，所以CDAB90,60APBPAB，所以PAD为等边三角形。不妨设2PA，则1,3,4ODOPAB2223,13CDOCODCD在RtOCP中，339tan1313OPOCPOC【变式练习1】如图，四棱锥SABCD中，//ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形。2ABBC，1CDSD，求AB与平面SBC所成的角的大小。【解】由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，32SDSESFDE作FGBC，垂足为G，则1FGDC连结SG，则SGBC，又BCFG，SGFGG故BC平面SFG，平面SBC平面SFG作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC217SFFGFHSG，即F到平面SBC的距离为217由于//EDBC，所以//ED平面SBC，故E到平面SBC的距离d也为217设AB与平面SBC所成的角为，则21sin7dEB，则21arcsin73/8ABCNMPQMNHQPBA【变式练习2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，1BC，23PC，2PDCD，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【解】过点P作PECD于点E，连接BE,ADPDADDC，则平面PDC平面ABCDPE面ABCD，则PBE是直线PB与平面ABCD所成角2,231203,1CDPDPCPDCPEDE在RtBCE中，22221013BEBCCEPBBEPE在RtBPE中，39sin13PEPBEPB三、二面角的求法二面角的范围：0180求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法：（一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱锥PABC中，60APBBPCAPC，求二面角APBC的余弦值。【解】在PB上取1PQ，作MQPB交PA于M，作QNPB交PC于N1cos3MQN【变式练习】如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成角45PAM，与面所成角的大小为30，求二面角MN的大小。【解】在射线AP上取一点B，作BH于点H，作HQMN于Q2sin2BQH，则MN为454/8ABCB1C1A1NQABCP（二）利用三垂线三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。从半平面内的任一点A出发向另一个半平面引一条直线AH，过H作棱l的垂线HG，垂足为G，连AG，则由三垂线定理可证lAG,故AGH就是二面角l的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。【例4】如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，点P在平面ABC内的射影O在AB上，求二面角BAPC的大小。【解】过AB中点D作DEAP于E，连接CE，由已知可得，CD平面PAB据三垂线定理可知，CEPA则CED为BAPC的平面角易知，若1AB，则3DE，23CD在RtCDE中，23tan23CDCEDDE【变式练习】在直三棱柱111ABCABC中，90BAC，11ABBB，直线1BC与平面ABC成30角，求二面角1BBCA的正弦值。【解】由直三棱柱性质得平面ABC平面11BCCB，过A作AN平面11BCCB，垂足为N，则AN平面11BCCB（AN即为我们要找的垂线）在平面1BCB内过N作NQ棱1BC，垂足为Q，连QA则NQA即为二面角的平面角。1AB在平面ABC内的射影为AB，CAAB1CABA，又11ABBB，得12AB5/8A1D1B1C1EDBCA直线1BC与平面ABC成30角130BCB，又12BC，则1RtBAC中，由勾股定理得2AC1AQ，在RtBAC中，1,2ABAC，得63AN6sin3ANAQNAQ即二面角1BBCA的正弦值为36从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosSS射）求出二面角的大小。求证：cosSS射【例5】如图，E为正方体1111ABCDABCD的棱1CC的中点，求平面1ABE和底面1111ABCD所成锐角的余弦值。【答案】所求二面角的余弦值为32【变式练习】如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD面ABCD，1AB，3SB。求面ASD与面BSC所成二面角的大小。【答案】45CDAEDCBAS6/8ABCDOA1B1C1D1四、真题演练1．（山东）已知三棱柱111CBAABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111CBA的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）.A125.B3.C4.D62．（大纲）已知正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA21，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（）.A32.B33.C32.D313．（山东）如图所示，在三棱锥ABQP中，PB平面ABQ，BQBPBA,FECD,,,分别是,AQBQ，,APBP的中点，BDAQ2，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。（1）证明：AB∥GH；（2）求二面角EGHD的余弦值。4．（陕西）如图，四棱柱1111DCBAABCD的底面ABCD是正方形，O为底面中心，OA1平面ABCD,21AAAB。（1）证明：CA1平面DDBB11；（2）求平面1OCB与平面DDBB11的夹角的大小。7/8ABCDSED1DCBA1B1C1AP5．（湖南理）如图在直棱柱1111DCBAABCD中，AD∥BC，090BAD，BDAC，1BC,31AAAD（1）证明：DBAC1；（2）求直线11CB与平面1ACD所成角的正弦值。6．（四川理）如图，在三棱柱11ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，12ABACAA，120BAC，1,DD分别是线段11,BCBC的中点，P是线段AD的中点．（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面1ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面11ADDA；（2）设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角1AAMN的余弦值．7．如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，22CSAD；E为BS的中点，2,3CEAS．求：（1）点A到平面BCS的距离；（2）二面角ECDA的大小。【解】（1）//ADBC，且BC平面BCS//AD平面BCS则A点到平面BCS的距离等于点到平面BCS的距离平面CSD平面ABCDADCD，故ADCSD平面，从而ADSD由//ADBC，得BCDS又由CSDS知DS平面BCS从而DS为点A到平面BCS的距离8/8RtADS中22312DSASAD（2）如图，过E作EGCD，交CD于点G，又过G点作GHCD交AB于H故EGH为二面角ECDA的平面角，记为，过E作//EFBC，交CS于点F，连结GF平面ABCD平面CSD，GHCD易知GHGF，故2EGF由于E为BS边中点，故112CFCS在RtCFE中，22211EFCECFEF平面CSD，又EGCD故由三垂线定理的逆定理得FGCD，从而又可得CGFCSD:因此GFCFDSCD，而在RtCSD中，22426CDCSSD故11263CFGFDSCD在RtFEG中，tan3EFEGFFG，可得3EGF故所求二面角的大小为6