专题23二次函数的应用(实际问题)

精品文档你我共享知识改变命运专题23：二次函数的应用（实际问题）一、选择题1.（山东济南3分）竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第A．3sB．3.5sC．4.2sD．6.5s【答案】C。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】∵小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，∴小球在发射后第4s时的高度最高。∴看所给时刻中小球的高度最高的只要看那个时刻离4s最近，而4.2s离4s最近，故4.2s是所给时刻中小球的高度最高的。故选C。2．（河北省3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是A、1米B、5米C、6米D、7米【答案】C。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】∵高度h和飞行时间t满足函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，∴当t=1时，小球距离地面高度最大，h=6米。故选C。3.（广西梧州3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－14x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（A）y=－14x2+34x+1（B）y=－14x2+34x－1（C）y=－14x2－34x+1（D）y=－14x2－34x－1【答案】A。【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。【分析】由已知知，点A和B的坐标分别为（4，0），（0，1）。根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系将它们分别代入抛物线y=－14x2+bx+c可求出b＝34，c＝1。精品文档你我共享知识改变命运因此这条抛物线的解析式是y=－14x2+34x+1。故选A。4.（湖南株洲3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24yxx（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是A．4米B．3米C．2米D．1米【答案】A。【考点】二次函数的应用。【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24yxx的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：∵22424yxxx，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米。故选A。5.（山东聊城3分）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为A．50mB．100mC．160mD．200m【答案】C。【考点】二次函数的应用。【分析】建立如图所示的直角坐标系，由于抛物线的顶点为（0，0.5），所以可设抛物线函数表达式为2=0.5yax。则由于点（1，0）在抛物线上，代入后得=0.5a，从而抛物线函数表达式为2=0.50.5yx。当=0.2x时，=0.48y；当=0.6x时，=0.32y。则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为：100×2×（0.48＋0.32）＝160（m）。故选C。6.（青海西宁3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是精品文档你我共享知识改变命运A．y＝－(x－12)2＋3B．y＝－3(x＋12)2＋3C．y＝－12(x－12)2＋3D．y＝－12(x＋12)2＋3【答案】C。【考点】二次函数的应用。【分析】∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，∴顶点坐标为（12，3）。∴设抛物线的解析式为y=a（x－12）2＋3，而抛物线还经过（0，0），∴0=a（－12）2＋3，∴a=－12。∴抛物线的解析式为y＝－12(x－12)2＋3。故选C。二、填空题1.（湖南怀化3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8)x个，则当x=▲元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．【答案】4。【考点】二次函数的最值【分析】依题意得y与x的函数关系式y=（8－x）x=－x2＋8x，化为顶点式为y=－（x－4）2＋16，∴当x=4时，y取得最大值。三、解答题1.（天津8分）注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．(I)分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：精品文档你我共享知识改变命运(Ⅱ)(由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解)【答案】解：（Ⅰ）（Ⅱ）根据题意，每天的销售额(35)(502)(035)yxxx，整理配方，得22(5)1800yx。∴当x=5时，y取得最大值1800。答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l800元。【考点】列函数关系式，二次函数的应用。【分析】（Ⅰ）根据题意，可分析出结果。（Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：每天的销售额=每件售价×每天销量(35)(502)yxx求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式2yaxmn的形式即可求出。（Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：每天的销售额=每件售价×每天销量(35)(502)yxx求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式2yaxmn的形式即可求出。2.（黑龙江哈尔滨3分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．精品文档你我共享知识改变命运(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大?最大面积是多少?【答案】解：（1）21S302xx。（2）把21S302xx化为顶点式：21S304502x∵12a＜0，∴当30x时，S有最大值，最大值为450。∴当x为30cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm2。【考点】二次函数的应用，菱形的性质，二次函数的最值。【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出S与x之间的函数关系式。（2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的最值原理，即可求出。3.（黑龙江大庆7分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经过调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少时，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】解：设销售单价定为x元（10x），每天所获利润为y元，则[10010(10)](8)yxx2102801600xx210(14)360x∴将销售定价定为14元时，每天所获利润最大，且最大利润是360元。【考点】二次函数的应用。【分析】根据题意列出二次函数，将函数化为顶点式，便可知当x=14时，所获得的利润最大。4.（江苏徐州8分）某网店以每件60元的价格进一批商品,若以单价80元销售,每月可售出300件,调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销量就减少10件。（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？【答案】解：（1）每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式为2=101006000yxx。（2）∵222=101006000=1010256250=1056250yxxxxx精品文档你我共享知识改变命运∴当=5x时，即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元。【考点】列二次函数关系式，二次函数的顶点式，求二次函数的最大（小）值。【分析】（1）关键是找出等量关系：利润=收入—成本，即2=3001083001060101006000yxxxxx-利润销量单价销量进价（2）根据二次函数的最大（小）值的概念，二次函数2=0yaxbca，对于，xb当时，yc有最大值。故只要通过配方法把2=101006000yxx化为2=1056250yx即可。5.（江苏常州、镇江7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量1y（千克）与x的关系为2140yxx；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量2y（千克）与t的关系为22yatbt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：⑴求a、b的值；⑵若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）【答案】解：⑴选取表中任两组2,ty数据，代入22yatbt，得214244abab，解得，=1=20ab，。t1232y214469精品文档你我共享知识改变命运⑵设甲级干果与乙级干果m天销完这批货。则有22420=114019mmmmm，解得，当121939741m,y,y时毛利润＝399×8＋741×6－1140×6＝798（元）⑶第n天甲级干果的销售量为221401401241nnnnnnn第天的总销量-第天的总销量=-，第n天乙级干果的销售量为221201201219nnnnnnn第天的总销量-第天的总销量=。依题意有21924167nnn。答：从第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克。【考点】二次函数的应用，解二元一次方程组和一元一次不等式，待定系数法。【分析】⑴用待定系数法得二元一次方程组直接求解。⑵列方程解应用题。关键是找出等量关系：m天甲级干果销量＋m天乙级干果销量＝总销量224201140mmmm⑶关键在表示第n天干果的销售量，然后列不等式求解。6．（山东泰安10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【答案】解：（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800。（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，由题意，得y=（x－20）[105－5（x－25）]=－5x2＋330x－4600=－5（x－33）2＋845。∵－5＜0，∴当x=33时，y的最大值为845。故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元。【考点】二次函数的应用（销售问题）。精品文档你我共享知识改变命运【分析】（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价