现代控制理论-第七章-变分法在最优控制中的应用

倒立摆控制点击观看航天器控制点击观看导弹轨迹控制点击观看第二篇最优控制线性系统对控制系统的设计方法：极点配置在实际工程应用中不仅仅是极点配置，常常考虑到性能指标最优的问题。•最优控制问题的提法•性能指标的分类最优控制研究的问题是：对一个控制系统，在给定的性能指标要求下，如何选择控制规律，使性能指标达到最优（极值）。tftttxxu，，初始状态：00txx00xxt00xxt目标集：ftSx控制域：mtURu性能指标：0ftfftttFtttJxxudt，，，一、最优控制问题的提法设动态系统的状态方程：00xxt00xxt最优控制的问题就是：从所有可供选择的容许控制中寻找一个最优控制，使状态由经过一定时间转移到目标集，并且沿此轨线转移时，使相应的性能指标达到极值（极大或极小）。*tutx0txS二、性能指标的分类能指标函数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)，最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。按照实际控制性能的要求大致可以分为：00ftftJttdt1Ftttxu，，⑴最短时间问题：拦截导弹最短时间控制0fttJutdtFtuttutx，，⑵最小燃料消耗问题：控制量u(t)与燃料消耗量成正比。导弹最小燃料控制02fttJutdt2Ftuttutx，，⑶最小能量控制问题：考虑与消耗功率成正比。航天飞机最小能量控制002211ffnnttiittiiJxtdtxtdt特别要注意以下的指标形式：012ftTTtJttttdtxQxuRu12TTFtttttttxuxQxuRu，，⑷线性调节器问题：导弹滚动通道调节问题012ftTTddtttttttJxxQxxuRudt12TddTttttFtttttxxQxxxuuRu，，⑷、⑸两类性能指标统称为二次型性能指标，这是工程实践中应用最广的一类性能指标。⑸状态跟踪器问题：如果在过程中要求状态x(t)跟踪目标轨线。dtx弹道导弹的弹道跟踪控制⑴积分型性能指标：0fttJFtttdtxu，，在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。它要求状态向量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。性能指标还可以按其数学形式大致分为下列三类：导弹稳定控制ffJttx，在变分法中称为迈耶尔问题。它只要求状态在过程终端时满足一定要求，但在整个动态过程中对状态及控制的演变不作要求。⑵终值型性能指标:卫星的指向控制0ftfftJttFtttdtxxu，，，在变分法中称为波尔札问题。它要求状态在过程终端时满足一定要求，而且状态向量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。⑶复合型性能指标：卫星的指向和稳定控制本篇主要内容•变分法解最优控制•极小值原理•动态规划法•二次型性能指标的最优控制第七章变分法在最优控制中的应用主要内容：•无约束条件的性能指标（泛函）极值问题•有约束条件的性能指标（泛函）极值问题•变分法法解最优控制问题（从最简单的情况开始）设性能指标为积分型（拉格朗日问题）0fttJFtttdtxx，，(7-1)§7.1无约束条件的性能指标（泛函）极值问题0fttA0xfxxt0tftt*xtB0fxtxt固定或自由固定或自由7.1无约束条件的泛函极值问题在无约束条件下，按边界条件，极值问题一般分为：1.固定边界的极值给定，且固定2.可动边界的极值给定，固定或自由自由3.终端时刻自由的极值给定，固定，,自由0,ftt00ffxtxxtx，0,ftt0xt0tftfxtfxt0xt一、固定边界的极值问题已知条件：假定为一维变量，在区间上二次可导，并设起始及终端时刻均给定，且xt0fttt，0ftt、00ffxtxxtx，(7-2)要求确定使达极小的轨线。现在我们讨论两种解法:复合求导法和变分法Jxxt1.复合求导法设为满足以上边界条件并使达到极小的最优状态轨线，如图所示。则其邻区的状态轨迹可用下式表示：Jx*xtxt*xtxtt(7-3)这里，是一个小参变量，但不是时间函数。是时间函数。且满足t00ftt(7-4)*xtxtt0xfxxt0tftt*xt将及的表示式代入指标函数式得xt*xt即在的邻区的所有均应满足边界条件*xtxt*000xtxtx(7-5)*fffxtxtx(7-6)并当时，则0*xtxt(7-7)对求导得xt*xtxtt(7-8)Jx0**fttJxFxttxtttdt＋，，(7-9)根据性能指标极值的必要条件，应满足00dJd(7-10)为此，我们采用复合求导的方法，将在处对求导Jx00****0|fttFxxtFxxtdJdtdxx，，，，(7-11)000ffftttuvdtuvdttttuv对于积分号内第二项的变换，利用分步积分的方法：这样，积分号内第二项作分部积分后可得：000******fffFxxtFxxtFxxtdtttdtdttttxxdtx，，，，，，代入式(7-11)则得：00******|ffttttFxxtFxxtdJddtdxdtxFxxtx，，，，，，(7-12)从边界条件知，00ftt0****0fttFxxtFxxtddtxdtx，，，，(7-13)由于可以任取，故为使上式成立，必须满足：t因此等式右边第二项等于零。根据式(7-10)有：这就是著名的欧拉-拉格朗日方程，简称欧拉方程。解此方程就可求得状态的最优轨线。*xt****0FxxtFxxtdxdtx，，，，(7-14)欧拉拉格朗日2.变分法在无约束条件下，性能指标的极值问题一般可以由经典变分法来解决。有关变分法的知识，对以下几个经常用到的定义及定理用一简单介绍。（1）泛函设函数x(t)，有另一个函数J(x)依赖于函数x(t)，用J(x)于表示，则函数J(x)称为函数x(t)的泛函，而x(t)称为泛函J(x)的变量。0()fttJxFtttdtxx，，泛函的特点：•函数的函数•泛函是标量**JJxxxxxx，(7-17)将J(x)在邻展开成泰勒级数*txx212JJJJ***xxxxxxxxxxxx(7-15)212JxJJJJ***xxxxxxxxxx(7-16)可见一阶变分的意义为泛函增量的线性主部。（2）变分**'JJxxxxxxx(7-18)变量的变分：xx212JxJJJJ***xxxxxxxxxx(7-16)可定义泛函的二阶变分为22,JJxxxx(7-20)212JJJJ***xxxxxxxxxxxx(7-15)**JJxxxxxx，(7-19)Jx（3）泛函在处达到极小值的必要条件为：*tx*,0Jxx(7-21)2*,0Jxx其充分条件为：仍然讨论固定边界的泛函极值，即设泛函为积分型（拉格朗日问题）：0fttJFtttdtxx，，(7-23)(7-22)显然，泛函的值将随着选取不同的而变化。设为满足以上边界条件并使达到极小的最优状态轨线，如图所示则其邻区的状态轨迹可用下式表示：JxxtJx*xtxt(7-24)这里，是时间函数。且满足xt00fxtxt(7-25)*xtxtxt0xfxxt0tftt*xt*xtxtxt*()xtxtt0(0)ftt即在的邻区的所有均应满足边界条件*xtxt*00fxtxtx(7-26)*0ffxtxtx(7-27)并当时，则0x*xtxt(7-28)对求导得xt*xtxtxt(7-29)将及的表示式代入指标函数式得xt*xtJx0**fttJxFxtxtxtxttdt＋，，(7-30)根据泛函极值的必要条件，应满足*'0xxJJxx(7-31)为此，我们将在处求变分Jxxt0****fttFxxtFxxtJxxdtxx，，，，(7-32)000ffftttuvdtuvdttttuv对于积分号内第二项的变换，仍然利用分步积分的方法：这样，积分号内第二项作分部积分后可得：000******fffFxxtxFxxtFxxtdtttdtxxdttttxxdtx，，，，，，代入式(7-32)则得：00******|ffttttFxxtFxxtdJdtxdtxFxxtxx，，，，，，(7-33)00******|ffttttFxxtFxxtdJddtdxdtxFxxtx，，，，，，同样，因为，因此等式右边第二项等于零。根据式(7-33)有：00fxtxt0****0fttFxxtFxxtdxdtxdtx，，，，(7-34)0****0|fttFxxtFxxtdJdtdxx，，，，****0FxxtFxxtdxdtx，，，，(7-35)由于可以任取，故为使上式成立，必须满足：xt欧拉方程是一个二阶微分方程，求解过程中要确定两个积分常数，因此要用到两个边界条件来求解。00xtxffxtx对于不同形式的被积函数F，相应的欧拉方程式亦将不同，我们可以用相似的方法求得，现将结果列于下表。,Fxt0Fx,Fxx2220FFFxxxxxx,Fxt2220FFxxxtFx220Fxx,,,,Fxxtxtxtx0xtF的形式欧拉-拉格朗日方程例7-1设泛函形式为：2221Jxxtdt边界条件为：1122xx，求达到极值时的最优轨线。J*xt解已知被积函数为：22Fx,x,txxt可求得：2012FFxtxx，代入欧拉方程得：*2120dxtdt