信号与系统大作业

傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换三种重要变换的特性(一)傅里叶变换：傅里叶变换的公式为：dtetfFtj)()(傅里叶变换的意义：利用傅里叶变换可以将时域的信号转换到频域进行分析。这样可以将复杂的时域信号转化成比较容易分析的频谱进行分析，还可以利用卷积的性质简化计算，之后利用傅里叶逆变换deFtftj)(21)(可以将频域信号还原成时域信号。傅里叶变换的缺陷：从公式可以看出，傅里叶变换的积分上下限是从负无穷到正无穷。因此时域上部分信号的变换会对整个频谱产生影响；而且，若想只对于一小段时间进行分析，则傅里叶变换的积分公式显然无法满足要求。因此又有了短时傅里叶变换。(二)短时傅里叶变换：短时傅里叶变换的公式为：detgxtSTFTjx)()(),(短时傅里叶变换的意义：短时傅立叶变换是给信号加了一个窗口函数，这样将只对某时刻附近的信号进行傅里叶变换，不断地移动窗口函数的中心位置，可得到任意时刻的傅里叶变换。短时傅里叶变换的缺陷：短时傅里叶变换需要选取一个固定的窗函数，这个窗函数一旦选定便无法再改变。因此无法改变时域分辨率和频域分辨率。在实际进行信号分析时，在频率较高、信号变化较剧烈的时间段上需要较高的时域分辨率，这时候需要较小的窗函数。而在频率较低，信号变换较缓慢的时间段上需要较高的频域分辨率，这时候需要较宽的窗函数。但是由于窗函数已经选定，这些要求无法满足，必须在时域分辨率和频域分辨率之间做出一定的取舍。于是，又有了小波变换。(三)小波变换：连续小波变换定义为：0,,2/1adtabttfabaWTf小波变换的意义：其中)(abt成为母小波，由其中的系数a、b可以看出，母小波的宽度和位置可以任意改变，因此可以任意控制时域分辨率和相应频域分辨率的选取，由小波变换的尺度变换可知：在频率较高、信号变化较剧烈的时间段上选择较高的时域分辨率，选取较小的a值，此时该时刻信号对应的频域表较宽。在频率较低，信号变换较缓慢的时间段上选择较低的频域分辨率，选取较大的a值，此时该时刻信号对应的频域表较窄，也即得到了较高的频域分辨率。利用小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号。对人语音信号的分析：对着麦克风说了一句“嗨，我是刘文康”。画出时域的声音信号如下：对其进行傅里叶变换的结果是：细节部分：可以看出复杂的声音信号在频域上的变换结果，及各个频率上的分量。对其进行小波变换得到：低频部分的频谱为：可以看出低频部分的信号与原信号很相似。高频部分的频谱为：可以看出高频部分的频谱体现的是信号的细节部分。对乐器语音信号的分析：对吉他声音录制如下：对其进行傅里叶变换的结果是：可以看出乐器声音信号在频域上的变换结果，及各个音符在频率上的分量很明显。对其进行小波变换得到：低频部分的频谱为：可以看出低频部分的信号频谱与原信号频谱很相似。体现了原信号的大致的频率分量。高频部分的频谱为：可以看出高频部分的频谱体现的是信号的细节部分。