八年级数学下册勾股定理复习课

小结和复习第十七章勾股定理学习目标1.掌握勾股定理及逆定理的内容、证明及作用2.掌握常见题型的分析、解题方法.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.abc知识回顾温馨提示：据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种，我们常用的方法是：面积法abcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形赵爽弦图证明：即c2=4×12ab+(b-a)2,c2=2ab+a2-2ab+b2所以a2+b2=c2b-a勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabca2+b2=c2直角三角形特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角，最长边所对角为直角.1.如图，已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一直角边c满足c2=.【思考】为什么不是？222bac答案：因为∠B所对的边是斜边.答案：222abc（一）知两边或一边一角型题型一勾股定理的直接应用考题分类首页2.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=10，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.585（一）知两边或一边一角型答案:（4）a=，c=.3231.如图，已知在△ABC中，∠B=90°，若BC＝4，AB＝x，AC=8-x，则AB=,AC=.2.在Rt△ABC中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则a=,c=.3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,c-b=8,求b,c.答案：b=5，c=13.351630（二）知一边及另两边关系型1.对三角形边的分类.已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长．注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．答案：5cm或cm.（三）分类讨论的题型7已知：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求S△ABC．答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+CD＝9+5＝14．故S△ABC＝84（cm2）．第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24（cm2）．2.对三角形高的分类.图1图2（三）分类讨论的题型【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论.1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对A题型二用勾股定理解决简单的实际问题答案：是．证明：在Rt△ACB中，BC=3，AB=5，AC=4．DC=4-1=3．在Rt△ECD中，DC=3，DE=5，CE=4．BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．2.一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？Zx```xk答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形.2.在直角三角形中找出直角边，斜边.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.1．证明线段相等.已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12.求证：△ABC是等腰三角形.答案：证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6.∵BC=12,∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可.题型三会用勾股定理解决较综合的问题【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？请在图中标出来.答案：AD=10，DC=8.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考2】在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？请在图中标出来.答案：DF=6.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.答案：AF=4.【思考3】由DF的长，你还可以求出哪条线段长？请在图中标出来.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考4】设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来.答案：EF=x，AE=8-x，CF=10.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.Z```xxk【思考5】你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是.答案：直角三角形△AEF,∵∠A=90°,AE=8-x，∴.222)8(4xx2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考6】图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？答案：四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考7】请把你的解答过程写下来.答案：设BE=x，依题意得：△BCE≌△FCE，∴BC=FC=10.BE=FE=x，∵ABCD是长方形∴AB=DC=8，AD=BC=10，∠D=90°，∴DF=6,AF=4，∵∠A=90°,AE=8-x，∴，解得x=5.∴BE的长为5.222)8(4xx3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC的长；（2）S△ABC.分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC..361.361答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=2，∴AD=BD=.∵在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD=，∴CD=,∴BC=，S△ABC=1+3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC的长；（2）S△ABC.22233思考：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题.思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形.2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中.3.利用勾股定理列出方程.4.解方程，求线段长，最后完成解题.1．下列线段不能组成直角三角形的是（）A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15C．a=，b=，c=D．a：b：c=2：3：42.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）Ａ．CD,EF,GHＢ．AB,EF,GHＣ．AB,CD,GHＤ．AB,CD,EFCEBHDFAG532DB题型四勾股定理的逆定理的应用已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四边形ABCD的面积.分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC=.∵CD=2，AD=3,∴△ACD是直角三角形；∴四边形的面积为1+.55由形到数实际问题(直角三角形边长计算)勾股定理勾股定理的逆定理实际问题(判定直角三角形)由数到形互逆定理小结首页勾股定理勾股定理的逆定理题设在Rt△ABC中,∠C=900在△ABC中,三边a,b,c满足a2+b2=c2结论a2+b2=c2∠C=900作用1.用勾股定理进行计算2.证明与平方有关的问题3.解决实际问题1.判断某三角形是否为直角三角形2.解决实际问题联系1.两个定理都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”有关;2.都与直角三角形有关；3.都是数形结合思想的体现.1.有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个角之比为3：4：5；③三边之比分别为7、24、25；④三边之比为5：12：13其中直角三角形有（）A.1个B.2个C.3个D.4个C当堂检测首页2.观察下列图形，正方形1的边长为7，则正方形2、3、4、5的面积之和为.493.折叠矩形ABCD的一边AD，折痕为AE，且使D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,则点F的坐标是，点E的坐标是。第2题图第3题图（6，0）（10,3）图(a)、图(b)、图(c)是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请在图(a)、图(b)、图(c)中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．具体要求如下：(1)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(2)画一个面积为10的等腰直角三角形；(3)画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形．解：(1)(2)(3)如图(a)、图(b)、图(c)．图17－134.