2020高考数学一轮复习-2.10-对数与对数函数课件-理

第10讲对数与对数函数【学习目标】1．理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算．2．掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用．3．掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a0且a≠1)的关系．【基础检测】1.若3x＝2，则x＝.2.函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点.log32(2，2)【解析】因为对数函数y＝logax恒过定点(1，0)，所以函数y＝loga(x－1)恒过定点(2，0)，所以函数y＝loga(x－1)＋2恒过定点(2，2).3.(log29)·(log34)＝____.4【解析】方法一：原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.方法二：原式＝2log23·log24log23＝2×2＝4.4.函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是.(－∞，0)【解析】函数f(x)＝lgx2的单调递减区间需满足x20且y＝x2单调递减，故x∈(－∞，0).5.(1)比较大小：log213____log1213.(2)比较大小：log32____log23.【解析】(1)log1213＝log23log213.(2)log32log33＝1，log23log22＝1，所以log32log23.【知识要点】1．对数的定义如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______________________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnNx＝logaN(a0且a≠1)3.对数的性质(a0，且a≠1，N0)①＝________；②logaaN＝________；③换底公式：_____________________________；logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.4．对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝__________________；②logaMN＝___________________；③logaMn＝_______________；④logamMn＝_____________．logaN＝logbNlogba(b0，且b≠1)NNlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMnmlogaMaNalog5．对数函数的概念、图象和性质定义形如y＝logax(a0，且a≠1)的函数叫对数函数图象(1)定义域：_____________(2)值域：________(3)过点_____________，即x＝1时，y＝0(4)在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是______性质(5)x1时，________0x1时，________x1时，________0x1时，________6.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线________对称．(0，＋∞)R增函数减函数y0y0y0y0y＝x(1，0)一、对数运算例1求下列各式的值：(1)log535＋2log122－log5150－log514；(2)alogab·logbc(a，b是不为1的正数，c0)；(3)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).【解析】(1)原式＝log535×5014＋2log12212＝log553－1＝2.(2)∵logab·logbc＝logbclogba＝logac，∴alogab·logbc＝c.(3)原式＝(3log25＋log25＋13log25)(log52＋log52＋log52)＝133log25·3log52＝13.【点评】对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同.二、对数函数的图象与性质及应用例2(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()B(2)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是()A.0a1B.0a2且a≠1C.1a2D.a≥2C【解析】(1)由函数y＝logax的图象过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝13x，则其函数图象不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图象不正确.(2)若0a1，则函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值时x2－ax＋1有最大值，这不可能；当a1时，x2－ax＋1有大于零的最小值，则a2－40，即－2a2，故得1a2.【点评】应用对数型函数的图象可求解的问题.(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解.三、对数函数的综合应用例3已知f(x)＝lg1－mxx－1是奇函数.(1)求m的值及函数f(x)的定义域；(2)根据(1)的结果判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并证明.【解析】(1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即lg1－mxx－1＋lg1＋mx－x－1＝lg1－m2x21－x2＝0，所以m2x2－1＝x2－1，所以m2＝1.又当m＝1时，f(x)无意义，所以m＝－1，即f(x)＝lg1＋xx－1.由1＋xx－10，得x－1或x1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).(2)f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减.证明如下：设g(x)＝1＋xx－1，任取1x1x2，则g(x1)－g(x2)＝1＋x1x1－1－1＋x2x2－1＝2（x2－x1）（x1－1）（x2－1）.因为1x1x2，所以x1－10，x2－10，x2－x10，所以g(x1)－g(x2)＝2（x2－x1）（x1－1）（x2－1）0，所以g(x1)g(x2)，所以lg[g(x1)]lg[g(x2)]，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减.【点评】对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y＝logaf(x)的复合函数的单调区间，其一般步骤为：(1)求定义域，即满足f(x)0的x的取值集合；(2)将复合函数分解成基本初等函数y＝logau及u＝f(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝logaf(x)为增函数，若一增一减，则y＝logaf(x)为减函数，即“同增异减”.〔备选题〕例4已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1.(1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；(2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围.【解析】(1)由题意得f(1)－g(1)＝0，即loga2＝2loga(2＋t)，解得t＝－2＋2或t＝－2－2(舍去)，∴t＝－2＋2.(2)不等式f(x)≥g(x)恒成立，即12loga(x＋1)≥loga(2x＋t)(x∈[0，15])恒成立，它等价于x＋1≤2x＋t(x∈[0，15])，即t≥x＋1－2x(x∈[0，15])恒成立.令x＋1＝u(x∈[0，15])，则u∈[1，4]，x＝u2－1，x＋1－2x＝－2(u2－1)＋u＝－2u－142＋178，当u＝1时，x＋1－2x的最大值为1.∴实数t的取值范围为{t|t≥1}.1．对数的定义、性质、运算法则及对数函数的图象、性质都是重要的基础知识，必须熟记．2．指数式与对数式的等价转换是解决有关指数、对数问题的有效方法，对这种互换要能灵活应用．3．对数换底公式及对数恒等式loganbm＝mnlogab，logab＝1logba也要熟练掌握．4．指数函数与对数函数互为反函数，要能从定义、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．5．对于含参数的对数问题，在求定义域和单调区间时，要注意对底数进行讨论．6．在研究对数函数和解对数方程时，要特别注意定义域．7．在比较对数式大小时，若底数相同可用单调性；若真数相同可用图象(见下表)；若底数真数都不同，可引入中间量.底的关系ab11ab0图象底数大于1时，底数越大图象越靠近坐标轴底数小于1时，底数越小图象越靠近坐标轴无论底数是大于1还是小于1，在x1时都是“底小图高”．1.(2015湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0，1)上是增函数B.奇函数，且在(0，1)上是减函数C.偶函数，且在(0，1)上是增函数D.偶函数，且在(0，1)上是减函数A【解析】先求函数的定义域，由奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.由1＋x0，1－x0，得－1x1，则函数的定义域为(－1，1).又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.f′(x)＝11＋x＋11－x，当x∈(0，1)时，f′(x)0，故f(x)在(0，1)上为增函数.故选A.【命题立意】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，考查了转化化归思想.2.(2015陕西)设f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝fa＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A.q＝r＜pB.p＝r＜qC.q＝r＞pD.p＝r＞qB【解析】利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p，q，r之间的相等与不等关系.因为b＞a＞0，故a＋b2＞ab.又f(x)＝lnx(x＞0)为增函数，所以fa＋b2＞f(ab)，即q＞p.又r＝12(f(a)＋f(b))＝12(lna＋lnb)＝lnab＝p.【命题立意】本题主要考查了基本不等式和利用对数函数的单调性来比较大小.1.设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.a＞c＞bD.c＞b＞aC【解析】∵a＝log2πlog22＝1，b＝log12π＝log21πlog21＝0，0c＝1π21，∴bca.2.已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A.a＝bcB.a＝bcC.abcD.abcB【解析】因为a＝log23＋log23＝log233＝32log231，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32log33＝1，所以a＝bc.3.已知函数f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是()A.(4，＋∞)B.[4，＋∞)C.(5，＋∞)D.[5，＋∞)C【解析】因为f(a)＝f(b)，所以a＝b(舍去)，或b＝1a，所以a＋4b＝a＋4a；又0ab，所以0a1b，令f(a)＝a＋4a，由对勾函数的性质知函数f(a)在(0，1)上为减函数，所以f(a)f(1)＝1＋41＝5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞).4.函数f(x)＝(x－1)ln|x|的图象大致为()A【解析】当x1时，f(x)＝(x－1)lnx0，故排除C、D，当0x1时，x－10，lnx0，∴f(x)＝(x－1)lnx0，故排除B，故选A.5.若函数f(x)＝loga(ax－3)在区间[1，3]上单调递增，则a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.0，13D.(3，＋∞)D【解析】