第七章-微分方程经典例题

第七章微分方程例7有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得，水从孔口流出的流量为,262.0ghSdtdVQ＝流量系数孔口截面面积重力加速度,12cmS.262.0dtghdV①设在微小的时间间隔],,[ttt水面的高度由h降至,hh则,2dhrdV,200)100(100222hhhr.)200(2dhhhdV②比较①和②得:,262.0)200(2dtghdhhh即为未知函数得微分方程.,)200(262.03dhhhgdt,1000th,101514262.05gC所求规律为).310107(265.45335hhgt例10求解微分方程.2222xyydyyxyxdx解原方程变形为2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy令,xyu则,dxduxudxdy方程化为,1222uuuudxduxu分离变量得112212121uuuu,xdxdu两边积分得,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu整理得.)2(12/3Cxuuu所求微分方程的解为.)2()(32xyCyxy例13抛物线的光学性质.实例:车灯的反射镜面——旋转抛物面.解设旋转轴Ox轴，光源在),0,0(),(:xyyL设),(yxM为L上任一点，MT为切线，斜率为,yMN为法线，斜率为,1y,NMROMN,tantanNMROMN由夹角正切公式得,11tanyxyxyyOMN,1tanyNMR得微分方程,02yyxyy,12yxyxy令,xyu方程化为,112uudxduxu分离变量得,1)1(22xdxuuudu令,122tu得,)1(xdxtttdt积分得,ln|1|lnxCt即.112xCu平方化简得,2222xCxCu代回,xyu得.222CxCy所求旋转轴为Ox轴得旋转抛物面的方程为.2222CxCzy例14（E07）设河边点O的正对岸为点A,河宽hOA,两岸为平行直线,水流速度为a,有一鸭子从点A游向点O,设鸭子(在静水中)的游速为)(abb,且鸭子游动方向始终朝着点O,求鸭子游过的迹线的方程.解设水流速度为),|(|aaa鸭子游速为),|(|bbb则鸭子实际运动速度为.bav取坐标系如图，设在时刻t鸭子位于点),,(yxP则鸭子运动速度},,{},{ttyxyxvvv故有.yxttvvyxdydx现在),0,(aa而,pobeb其中POe为与PO同方向的单位向量.由},,{yxPO故,},{22yxyxePO于是},,{22yxyxbbbav.,2222yxbyyxbxa由此得微分方程,22yxbyyxavvdydxyx即,12yxyxbadydx初始条件为.0|hyx令,uyx则,yux,udyduydydx代入上面的方程,得,12ubadyduy分离变量得,12dybyaudu积分得),ln(lnCybaarshu即baCyshu/)ln(],)()[(21//babaCyCy故].)()[(21])()[(2/1/1//babababaCyCyCCyCyyx将初始条件代入上式得,/1hC故所求迹线方程为2hx,/1/1babahyhy.0yh一、一阶线性微分方程形如)()(xQyxPdxdy(3.1)的方程称为一阶线性微分方程.其中函数)(xP、)(xQ是某一区间I上的连续函数.当,0)(xQ方程(3.1)成为0)(yxPdxdy(3.2)这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解.)(dxxPCey(3.3)其中C为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C变易为待定函数)(xu，并设一阶非齐次方程通解为,)()(dxxPexuy一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()()((3.5)二、伯努利方程：形如nyxQyxPdxdy)()((3.7)的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且1,0n.伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的.事实上，在方程(3.7)两端除以ny，得),()(1xQyxPdxdyynn或),()()(1111xQyxPynnn于是，令nyz1，就得到关于变量z的一阶线性方程)()1()()1(xQnzxPndxdz.利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解.)1)(()()1()()1(1CdxenxQeydxxPndxxPnn例5（E03）求方程0)12(23dyxydxy的通解.解当将y看作x的函数时，方程变为2321xyydxdy这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x看作y的函数，方程改写为1223xydydxy则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为0223xydydxy分离变量，并积分得,2ydyxdx即211yCx其中1C为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1)(2yyux代入原方程,得yyu1)(积分得Cyyu||ln)(故原方程的通解为)||(ln12Cyyx，其中C为任意常数.例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂.为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐.充分混合的溶液以45L/min的速度泵出.在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？解令y是在时刻t罐中的添加剂的总量.易知100)0(y.在时刻t罐中的溶液的总量tttV5800045408000因此，添加剂流出的速率为ttyttytVty58000454558000溶液流出的速率添加剂流入的速率80402，得到微分方程tydtdy580004580即805800045ytdtdy于是，所求通解为9580004558000451600101600080tCtCdteeydttdtt由100)0(y确定C，得016000010160009C，8160010C，故初值问题的解是9816001600101016000tty，所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是58.1512160020160010201016000)20(98yg.注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品.把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器.在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的.描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率.例10（E06）求方程1)()(23xyxxyxdxdy的通解.解令,uxy则,1dxdudxdy于是得到伯努利方程.23uxxudxdu令,121uuz上式即变为一阶线性方程.3xxzdxdz其通解为22xezCdxexx232.2222xCex回代原变量，即得到题设方程的通解.211222xCexzxyx例11（E07）求解微分方程.)(sin12xyxyxdxdy解令,xyz则,dxdyxydxdzxydxdzxyxyx)(sin12,sin12z利用分离变量法解得,42sin2Cxzz将xyz代回，得所求通解为.4)(2sin2Cxxyxy二、),(yxfy型这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是：令),(xpy则)(xpy，原方程化为以)(xp为未知函数的一阶微分方程，).,(pxfp设其通解为),,(1Cxp然后再根据关系式,py又得到一个一阶微分方程).,(1Cxdxdy对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21CdxCxy三、),(yyfy型这种方程的特点是不显含自变量x.解决的方法是：把y暂时看作自变量，并作变换),(ypy于是，由复合函数的求导法则有.dydppdxdydydpdxdpy这样就将原方程就化为).,(pyfdydpp这是一个关于变量y、p的一阶微分方程.设它的通解为),,(1Cypy这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21CxCydy例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂.求绳索曲线在平衡状态时的方程.解设绳索的最低点为.A取y轴通过点A铅直向上，并取x轴水平向右，且||OA等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为).(xyy考察绳索上点A到另一点),(yxM间的一段弧,AM设其长为.s假定绳索的线密度为，则弧AM的重量为.gs由于绳索是柔软的，因而在点A处的张力沿水平的切线方向，其大小设为;H在点M处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为,其大小为T(如图).因作用于弧段AM的外力相互平衡，把作用于弧段AM上的力沿铅直及水平两方向解得.cos,sinHTgsT两式相除得.1tangHasa由于xdxysy02,1,tan代入上式即得.1102xdxyay将上式两端对x求导，便得)(xyy满足得微分方程.112yay(1)取原点O到点A的距离为定值,a即,||aOA则初始条件为.0,00xxyay对方程(1)，设,py则,dxdpy代入并分离变量得：adxpdp21.1Caxparsh由00xy得01C.axparsh即axshy.2Caxachy将条件ayx0代入上式，得.02C于是该绳索的曲线方程为.2axaxeeaaxachy这曲线叫做悬链线.),(yyfy型二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的.这里我们介绍处理这类方程的两种方法.一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程,如果已知其一个非零特解,作变量替换,1zdxyy,就可将其降为一阶齐次线性方程,从而求得通解.并有下列刘维尔公式.1)(21211dxeyCCyydxxP三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时,我们曾对其对应的齐次方程的通解,利用常数变易法求得非齐次方程的通解.这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程),()()(22xfyxQdxdyxPdxyd(5.10)其中)(),(),(xfxQxP在某区