线性代数教案13

线性方程组解的表示线性方程组解的表示333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa行列式的定义行列式时研究矩阵的一个重要工具，是矩阵的重要数字特征。定义：对于n阶方阵用记号表示一个与A相联系的数，称为矩阵A的行列式(Determinant).记做det(A)，或|A|.行列式的计算余子式与代数余子式：在n阶行列式中，划去元所在的行和列（第i行和第j列），剩余的元保持原来的次序所构成的n－1阶行列式，称为元的余子式，记为；称为的代数余子式，记为因此上述定义中，要求，即3阶及3阶以上的行列式中的元才有余子式和代数余子式.行列式的计算：2阶行列式n阶行列式等于任一行（列）的每个元与其代数余子式乘积的和.即上式为n阶行列式按第一列的展开式.例题1计算行列式解：例题2计算行列式解：行列式的性质※1.行列式可以按任意一行（列）展开；※2.行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零.※3.行列式转置后，其值不变；※4.行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外；※5.如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和；※6.设A与B为n阶方阵，则|AB|=|A||B|；※7.互换行列式的两行（列），行列式只改变符号；※4.行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外；※8.如果行列式的某一行（列）的元加上另一行（列）相应元的若干倍，则行列式不变；小结行列式性质的推论1.行列式有一行（列）元素全为零，行列式为零；2.行列式有两行（列）的元对应相等，行列式为零；3.行列式有两行（列）的元对应成比例，行列式为零；4.设A为n阶方阵，则AAn例题3计算三角行列式解同理，小结例题4计算行列式3101252195321123D41rr112325219532310114131232rrrrrr84201420373031013432rrrr9000142023103101232rr900032002310310118)9()2(113101252195321123练习计算行列式行列式的计算与化简为解决行列式的计算问题，应当利用行列式的性质进行有效的化简。化简的一般方法是初等变换，目的是化为三角行列式。着手点不同，计算与化简的过程也不尽相同，应善于发现具体问题的特点，并根据特点选择方法与技巧。例题5计算行列式解1解2例题6计算行列式解1解2例题7证明范德蒙德（Vandermonde）行列式小结证明例题9计算n阶三对角行列式小结解而从而克拉默（Cramer）法则定理如果线性方程组的系数行列式则该方程组有唯一解这里小结例题10解线性方程组解由于从而推论齐次线性方程组有惟一的零解的充分必要条件为系数行列式D不为零.行列式、伴随矩阵与逆矩阵的关系伴随矩阵：对任意n阶方阵A，由|A|中每个元的代数余子式所构成的方阵称为A的转置伴随矩阵（AdjugateMatrix）或伴随矩阵，记为定理1.8设A是n阶方阵，为其转置伴随矩阵，则定理1.9n阶方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是此时有小结*AIAAAAA**0A*11AAA例题11证明（1）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得AB＝I则A可逆，且；（2）对于n阶方阵A，若存在方阵B，使得BA＝I则A可逆，且.例题12判断下面矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵求逆矩阵的方法小结1.定义法；2.行变换法；3.伴随矩阵法；例题13设且，求矩阵解由于，故A可逆，从而由得而故分块对角阵若矩阵A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块，其余子块均为零矩阵，且非零子块都是方阵，则称A为分块对角阵.分块对角阵的性质：例题14：已知求解：其中由于所以对角阵是特殊的对角方阵；对角阵可逆的充要条件是对角元均非零.例题15：求逆矩阵其中方法1：定义法；方法2：初等行变换法；方法3：伴随矩阵法；方法4：分块矩阵求逆.作业课本P35习题一1.12（1）（6）1.16（3）1.25余子式与代数余子式对于3阶行列式第1行第2列元“3”的余子式就是划去第1行和第2列的元后剩余的元保持原次序构成的2阶行列式代数余子式为第3行第3列元“3”的余子式就是划去第3行和第3列的元后剩余的元保持原次序构成的2阶行列式代数余子式为返回行列式中某一行（列）的所有元的公因子，可以提到行列式符号外对比行列式的数乘矩阵的数乘推论：如果行列式有两行（列）的元对应成比例，则行列式为零.返回如果行列式的某一行（列）的元都是两项的和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和对比：行列式的加法与矩阵的加法有什么不同的地方？不同：矩阵加法只要求矩阵为同型矩阵，结果所有行对应元相加；行列式加法不光要求为同型行列式，还需要其余n-1行（列）的元完全相同，并且结果只有对应一行（列）相加.返回行列式可以按任意一行（列）展开返回行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零返回按行展开按列展开这里