近世代数考试复习

近世代数复习题一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（ab）c=a（bc）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有ea=a.（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1a=e.则称G对代数运算做成一个群。2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）=ab+ac，（b+c）a=ba+ca.其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R.如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[x]都是惟一分解整环。6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K–{0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq+r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。-------------7、素理想：设R是一个交换环，P◁R.如果ab∈P=a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为a.9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有r∈R，a∈N=ra∈N，则称N是环R的一个左理想；如果r∈R，a∈N=ar∈N，则称N是环R的一个右理想；如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用符号N◁R表示。否则记为N◁R.10、商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商群，记为G/N.11、主理想环：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主理想整环。整数环和域F上的多项式环F[x]都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环Z[x]不是一个主理想整环。二、填空（30’）1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。2、集合M的一个等价关系决定M的一个分类。3、设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b，方程ax=b,ya=b在G中都有解。4、群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是：（1）a，b∈H=ab∈H;（2）a∈H=a-1∈H.5、设H,k是群G的两个子群，则HK≤GHK=KH.6、整数加群Z是无限循环群。7、无限循环群a有两个生成元，即a与a-1；n阶循环群有ψ（n）个生成元，其中ψ（n）为Euler函数。例如，4、5、6阶循环群分别有ψ（4）=2，ψ（5）=4，ψ（6）=2个生成元。8、设a是任意一个循环群。（1）若|a|=∞，则a与整数加群Z同构；（2）若|a|=n，则a与n次单位根群Un同构。9、循环群的子群仍为循环群。10、不相连循环相乘时可以交换。11、k—循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。12、（J.L.Lagrange，1736—1813）设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|（G：H）.从而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。14、左陪集的重要性质（1）a∈aH.（2）a∈HaH=H.（3）b∈aHaH=bH.（4）aH=bH，即a与b同在一个左陪集中a-1b∈H（或b-1a∈H）。（5）若aH∩bH≠φ，则aH=bH.对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。15、循环群的商群也是循环群。16、（第一同构定理）设ψ是群G到G的一个同态满射，又KerψN◁G，N=ψ（N），则G/N≌G/N.17、（第二同构定理）设G是群，又H≤G，N◁G.则H∩N◁H，并且HN/N≌H/(H∩N).18、（第三同构定理）设G是群，又N◁G，H≤G/N.则（1）存在G的惟一子群HN，且H=H/N；（2）又当H◁G/N时，有惟一的H◁G使H=H/N且G/H≌G/N／H/N.19、设G是一个群，a∈G，则（1）σa：x—axa-1（x∈G）是G的一个自同构，称为G的一个内自同构；（2）G的全体内自同构作成一个群，称为群G的内自同构群，记为InnG；（3）InnG◁AutG.20、环R的非空子集S作成子环的充要条件是：a，b∈S=a-b∈S，a，b∈S=ab∈S.21、如果p是素数，则环Zp是一个域；如果n是合数，则环Zn有零因子，从而不是域。22、（环同态基本定理）设R与R是两个环，且R~R.则（1）这个同态核N，即零元的全体逆象，是R的一个理想；（2）R/N≌R．23、设P是交换环R的一个理想。则P是R的素理想的充分与必要条件是，商环R/P无零因子，即为整环。24、整数环Z的理想N是Z的极大理想，当且仅当N是由素数生成的理想。25、整环K中的元素一定是不可约元。26、设K是任意一个惟一分解整环。则p是K的元素当且仅当p是K的不可约元。27、设K是有单位元的整环。如果（1）K中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积；（2）K中的不可约元都是素元；则K是一个惟一分解整环。28、Gauss整环Z[i]是主理想整环。29、整数环Z是欧氏环。30、域F上多项式环F[x]是一个欧氏环。31、欧氏环必是主理想环，因而是惟一分解整环。（反之不成立）32、主理想整环是惟一分解整环。（反之不成立）33、群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G里的指数，记（G：H）.34、设p∈K.p≠0，且p不是单位。如果p|ab就必有p|a或p|b，则称p是K的一个元素。35、同态：反身、传递（不满足对称）；同构：反身、传递、对称。例一、设σ=（14）（235），τ=（153）（24）.求στσ-1=？解：由定理可知：στσ-1=（σ（1）σ（5）σ（3））（σ（2）σ（4））=（425）（24）.例二、证明：K={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}作成交代群A4的一个交换子群。这个群（以及与其同构的群）称为Klein（C.L.Klein，1849--1925）四元群。证显然K4中的置换全为偶置换，而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是2，而且其中任二个相乘等于第三个，即K4对置换的乘法封闭。从而K4是A4的一个子群，且显然是一个交换子群。（证毕）例三、证明：Z[i]={a+bi|a，b∈Z}作成一个有单位元的整环（这个环称为Gauss整环），并且其单位群是{±1，±i}.证Z[i]作成有单位元的整环显然。又显然±1，±i均为其单位。下证：Z[i]没有别的单位。设ε=a+bi是Z[i]的任一单位，则有η∈Z[i]使εη=1，|ε|2|η|2=1.这只有|ε|2=a2+b2=1，从而只有a=±1，b=0；或a=0，b=±1.即ε只能是±1及±i.因此，±1和±i是环Z[i]的全部单位。故U（Z[i]）={±1，±i}.例四、在模8剩余类环Z8中，令4={0,4}，2={0,2,4,6}，则4不是Z8的素理想（因为2·2=4∈4，但是2∈4），也不是Z8的极大理想（因为42Z8）.但是，易知2既是Z8的素理想也是Z8的极大理想。例五、设G=a为6阶循环群。给出G的一切生成元和G的所有子群。解：a，a5；ψ（6）=2.例六、试求下列各置换的阶：τ1=（1378）（24）；【4】τ2=（1372）（234）；【6】τ3=123456641523；【3】τ4=12345675763142；【6】例七、设τ=（327）（26）（14），σ=（134）（57）.则στσ-1=（13）（2654）；σ-1τσ=（265）（34）.三、判断（10’）1、在环R中，当a不是左零因子时，则ab=ac，a≠0=b=c；（1）当a不是右零因子时，则ba=ca，a≠0=b=c.（2）2、无零因子的交换环称为整环。3、除环和域没有零因子。4、Zn中非零元m如果与n互素，则为可逆元；如果不与n互素，则为零因子。5、欧氏环主理想整环惟一分解整环有单位元整环6、一个群的两个子群的乘积一般不再是子群。7、正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群。8、群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群。9、理想的理想不一定是原环的理想，亦即理想也不具有传递性。