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第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量1.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的任意向量a,__________一对实数λ1,λ2,使a=_____________.其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______.不共线有且只有基底λ1e1+λ2e2栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=________________,a-b=________________,λa=________________,|a|=________________.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=________________,|AB→|=____________________.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)x21+y21(x2-x1,y2-y1)(x2-x1)2+(y2-y1)2栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔_______________________.x1y2-x2y1=0栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.()(3)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成x1x2=y1y2.()×√√×栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()A.e1=(-2,4),e2=(1,-2)B.e1=(4,3),e2=(-3,8)C.e1=(2,3),e2=(-2,-3)D.e1=(3,0),e2=(4,0)解析:选B.对于A,e1=-2e2,对于C,e1=-e2,对于D,e1=34e2,对于B,不存在λ∈R,使e1=λe2,故选B.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量已知点A(0,1),B(3,2),向量AC→=(-4,-3),则向量BC→=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量解析:选A.法一:设C(x,y),则AC→=(x,y-1)=(-4,-3),所以x=-4,y=-2,从而BC→=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.法二:AB→=(3,2)-(0,1)=(3,1),BC→=AC→-AB→=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(教材习题改编)向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b=________.解析:由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),所以b=12(-6,8)=(-3,4).答案:(-3,4)栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(教材习题改编)已知A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,t),若AB→与CD→共线,则t=________.解析:AB→=(2,1)-(-2,-3)=(4,4),CD→=(-7,t)-(1,4)=(-8,t-4).因为AB→与CD→共线,所以4(t-4)-4×(-8)=0.即4t+16=0,所以t=-4.答案:-4栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(教材习题改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.解析:设D(x,y),则由AB→=DC→,得(4,1)=(5-x,6-y),即4=5-x,1=6-y,解得x=1,y=5.答案:(1,5)栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量平面向量基本定理及其应用[典例引领]如图,以向量OA→=a,OB→=b为邻边作▱OADB,BM→=13BC→,CN→=13CD→,用a,b表示OM→,ON→,MN→.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量【解】因为BA→=OA→-OB→=a-b,BM→=16BA→=16a-16b,所以OM→=OB→+BM→=16a+56b.因为OD→=a+b,所以ON→=OC→+13CD→=12OD→+16OD→=23OD→=23a+23b,所以MN→=ON→-OM→=23a+23b-16a-56b=12a-16b.综上,OM→=16a+56b,ON→=23a+23b,MN→=12a-16b.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.[注意]在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量[通关练习]1.在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=13AB,BQ=13BC,若AB→=a,AC→=b,则PQ→=()A.13a+13bB.-13a+13bC.13a-13bD.-13a-13b解析:选A.由题意知PQ→=PB→+BQ→=23AB→+13BC→=23AB→+13(AC→-AB→)=13AB→+13AC→=13a+13b,故选A.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量2.已知点A,B为单位圆O上的两点,点P为单位圆O所在平面内的一点,且OA→与OB→不共线.(1)在△OAB中,点P在AB上,且AP→=2PB→,若AP→=rOB→+sOA→,求r+s的值;(2)已知点P满足OP→=mOA→+OB→(m为常数),若四边形OABP为平行四边形,求m的值.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量解:(1)因为AP→=2PB→,所以AP→=23AB→,所以AP→=23(OB→-OA→)=23OB→-23OA→,又因为AP→=rOB→+sOA→,所以r=23,s=-23,所以r+s=0.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(2)因为四边形OABP为平行四边形,所以OB→=OP→+OA→,又因为OP→=mOA→+OB→,所以OB→=OB→+(m+1)OA→,依题意OA→,OB→是非零向量且不共线,所以m+1=0,解得m=-1.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量平面向量的坐标运算(高频考点)平面向量的坐标运算是每年高考的重点,题型为选择题、填空题,涉及向量坐标的线性运算及数量积运算,难度适中.主要命题角度有:(1)已知向量的坐标进行坐标运算;(2)解析法(坐标法)在向量中的应用.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量[典例引领]角度一已知向量的坐标进行坐标运算(1)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=()A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(2)已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.(3)平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c0),且|OC→|=2,若OC→=λOA→+μOB→,则实数λ+μ的值为________.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量【解析】(1)3a-2b+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,故选A.(2)由向量a=(2,1),b=(1,-2),得ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),则2m+n=9,m-2n=-8,解得m=2,n=5,故m-n=-3.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(3)因为|OC→|=2,所以|OC→|2=1+c2=4,因为c0,所以c=3.因为OC→=λOA→+μOB→,所以(-1,3)=λ(1,0)+μ(0,1),所以λ=-1,μ=3,所以λ+μ=3-1.【答案】(1)A(2)-3(3)3-1栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量角度二解析法(坐标法)在向量中的应用(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP→=λAB→+μAD→,则λ+μ的最大值为()A.3B.22C.5D.2栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为212+22=25,圆C:(x-1)2+(y-2)2=45,因为P在圆C上,栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量所以P(1+255cosθ,2+255sinθ),AB→=(1,0),AD→=(0,2),AP→=λAB→+μAD→=(λ,2μ),所以1+255cosθ=λ,2+255sinθ=2μ,λ+μ=2+255cosθ+55sinθ=2+sin(θ+φ)≤3,tanφ=2,选A.【答案】A栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量(1)向量坐标运算的策略①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.②若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标.③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(2)向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时,可建立平面直角坐标系,将向量坐标化,将向量问题转化为代数问题,更便于计算求解.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量[通关练习]1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC→=2AD→,则顶点D的坐标为()A.2,72B.2,-12C.(3,2)D.(1,3)解析:选A.设D(x,y),AD→=(x,y-2),BC→=(4,3),又BC→=2AD→,所以4=2x,3=2(y-2),所以x=2,y=72,故选A.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平面向量2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=________.栏目导引教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考第五章平
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