2019年中考三角形外接圆综合练习

2019年中考三角形外接圆综合练习【例1】如图，在平面坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点,,ABC,A点的坐标是(3,5)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_______OyxCBA【答案】1,0【例2】如图所示，ABC内接于O，若28OAB，则C的大小是（）OBCAA．56B．62C．28D．32【答案】B【例3】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）OCBAA．3B．5C．23D．25【答案】C【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．OCBA解：连接OA，并作ODAB于D，则30OAD，2OA，∴cos303ADOA，∴23AB．【例4】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O的直径等于（）DOBCAA．522B．32C．52D．７【答案】C【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法,利用直径所对的圆周角是90度构造直角三角形是常用的辅助线方法．EDOBCA解：作直径AE，连接BE，∵ADBC，∴ADC是Rt，由勾股定理得4AD．∵∠ACD=∠AEB，（同弧圆周角相等）90ABE，（半圆上的圆周角是直角）∴ADCABE∽，::AEACABAD，∴542524AE，则直径52AE．【例5】如图所示，点A、B、P在O上，且50APB．若点M是O上的动点，要使ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A．1个B．2个C．2个D．4个OPBA【答案】D【解析】50APB,弦AB不是直径，APB不是等边三角形．（1）当MAMB时，MAB是等腰三角形，这时M点是弦AB的垂直平分线与圆O的交点，有两个；（2）当ABAM时，这样的M点只有一个．（3）当ABMB时，这样的M点只有一个．综上可得符合条件的点M有4个．【例6】已知：如图，ABC内接于O,AB为O的直径，52ACBC,点D是AC上一个动点，连结,,ADCDBD,BD与AC相交于点E,过点C作PCCD于C,PC与BD相交于点P,连结OP和AP.(1)求证：ADBP;（2）如图1，若1tan2ACD，求证：DCAP∥；（3)如图2，设ADx,四边形APCD的面积为y,求y与x之间的关系式.图一EPOBCDA图二PECDOBA【答案】(1)证明:∵PCCD,AB为O的直径∴90DCPACBADB∵DCPACDACP，ACBACPBCP∴ACDBCP∵ACBC∴ABC是等腰直角三角形∴45BAC∴45BDCBAC∴DCP是等腰直角三角形∴DCPC，∴ADC≌BPC，∴ADBP．(2)证明：∵ABDACD∴1tantan2ABDACD，∴12ADBD，∴12PBBD，∴P是BD的中点，∴ADPBPD，∴ADP是等腰直角三角形∴45APD，∴APDBDC，∴∥DCAP（3）解：ACPACDACPBCPABCABPySSSSSS=21252x（052x）【例7】已知，如图，在ABC中，ABAC,以AB为直径的O分别交BC、AC于点D、E,连结EB交OD于点F．（1）求证：ODBE；（2）若5DE,5AB,求AE的长．FDBOCEA【答案】（1）联结AD∵AB是O的直径，90ADBAEB,,ABACCDBD．,OAOBODAC,ODBE．（2）方法一：90CEBAEB，,5,5CDBDABDE.5,225ACABBCDE.在ABE、BCE中，90CEBAEB，设AEx，则有2222ABAEBCEC，22225(25)(5)xx解得：3x，3AE方法二：,,ODBEBDDEBFEF．设1,2AExOFx，在OBF、BDF中，90OFBBFD．2222BDDFOBOF．∵5DE，5AB，2251(5)()22x，解得：3,3xAE．方法三：,,BEACADBC∵BE⊥ACAD⊥BC,1122ABCsBCADACBE，BCADACBE，225,5BCDEACAB．4,BE3AE．FDBOCEA【例8】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄EFGH，，，（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．【答案】：（1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．（3）此中转站应建在EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．理由如下：47.835.182.9HEFHEGGEF，50.047.1EHFEFH，，∴EFH是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为EFH的外接圆，设此外接圆为O，直线EG与O交于点EM，，则50.053.8EMFEHFEGF＜．故点G在O内，从而O也是四边形EFGH的最小覆盖圆．所以中转站建在EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求．