计算方法各章作业答案

计算方法作业第二章插值1.给出下列数据表：x0.00.10.20.3Y0.00000.09980.19870.2955（1）请利用上表中的数据写出拉格朗日插值多项式。（2）用二次Lagrange插值多项式求当X=0.15时Y的近似值。（3）写出余项R(x)=f(x)-Pn(x)的表达式。解：（1）Pn(x)=knknkjjjkjyxxxx)(00n=3P3(x)=0302010321))()(())()((yxxxxxxxxxxxx[phone]))()(())()((yxxxxxxxxxxxx[phone]))()(())()((yxxxxxxxxxxxx[phone]))()(())()((yxxxxxxxxxxxxx0=0.0x1=0.1x2=0.2x3=0.3y0=0.0000y1=0.0998y2=0.1987y3=0.2955P3(x)=0000.0)3.00.0)(2.00.0)(1.00.0()3.0)(2.0)(1.0(xxx+0998.0)3.01.0)(2.01.0)(0.01.0()3.0)(2.0)(0.0(xxx+1987.0)3.02.0)(1.02.0)(0.02.0()3.0)(1.0)(0.0(xxx+2955.0)2.03.0)(1.03.0)(0.03.0()2.0)(1.0)(0.0(xxx(2)y(0.15)=P2(0.15)=0.1494（3）R(x)=f(x)-Pn(x)=)!1()()1(nfnnk0(x-xk)=!4)(4f(x–0.0)(x–0.1)(x–0.2)(x–0.3)第三章方程求根5．求解方程12-3x+2cosx=0的迭代法nnxxcos3241（1）证明对于任意的x0€R均有*limxxnx(x*为方程的根)（2）取x0=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10-３，列出各次的迭代值。（3）此迭代的收敛阶是多少？试证明你的结论。（1）证明：因为迭代函数Cosxx324)(,Sinxx32)(而对一切X,均有1)(x故迭代过程收敛,即Rx0,均有*limxxnn(2)取40x,代如迭代式计算有:56424.343241Cosx391996.356424.33242Cosx354125.3391996.33243Cosx34833.3354125.33244Cosx3475299.334833.33245Cosx取*x≈5x=3.3４7即可使误差不超过310。(3)因Sinxx32)(,0*32*)(Sinxx∴此迭代格式只具线性收敛性.13．对于迭代函数g(x)=x+C(x2-2)，试讨论当C为何值时，xk+1=g(xk)(k=0,1,2,3,…)产生的序列{xk}收敛于2？如果迭代格式)(2,1,0),2()(021给定xkxCxxxkkkk是局部收敛的话,设迭代序列的极限值为*x,则有CxxxxxCxx21)(2*2*)2*(**2或当1)2(,即1221C或021C时,则迭代格式局部收敛于2。当0)2(,即0221CC取221时收敛最快,为平方收敛。第四章数值积分１.已给数据表：x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675（1）用复化梯形法计算积分的近似值。（2）用复化辛卜生法计算积分的近似值。（3）用柯特斯法计算积分的近似值。解：（1）Tn=dxxfba)(=h2[f(a)+211)(nkkxf+f(b)]=0.22[3.12014+2×(4.42569+6.04241+8.03014)+10.46675]=5.058337(2)Sn=h6[f(a)+41021)(nkkxf+211)(nkkxf+f(b)]=0.46[f(a)+4×4.42569+2×6.04241+4×8.03014+10.46675]=5.033002)(3)Cn=h90[7f(a)+321041)(nkkxf+121021)(nkkxf+321043)(nkkxf+1411)(nkkxf+7f(b)]=0.890[7×3.12014+32×4.42569+12×6.04241+32×8.03014+7×10.46675]=5.032922２.已给数据表：x1.01.11.21.31.4f(x)1.000000.909090.833330.769230.71429x1.51.61.71.8f(x)0.666670.625000.588240.55556（1）用复化梯形法计算积分的近似值。（2）用复化辛卜生法计算积分的近似值。（3）用柯特斯法计算积分的近似值。解：（1）Tn=badxxf)(=h2[f(a)+211)(nkkxf+f(b)]=21.0[1.00000+2×(0.90909+0.83333+0.76923+0.71429+0.66667+0.62500+0.58824)+0.55556]=0.588363（2）Sn=)]()(2)(4)([6)(111021bfxfxfafhdxxfnkknkkba=62.0[1.00000+4×0.90909+2×0.83333+4×0.76923+2×0.71429+4×0.66667+2×0.62500+4×0.58824+0.55556]=0.5877906（3）Cn=h90[7f(a)+321041)(nkkxf+121021)(nkkxf+321043)(nkkxf+1411)(nkkxf+7f(b)]=904.0[7×1.00000+32×0.90909+12×0.83333+32×0.76923+14×0.71429+32×0.66667+12×0.62500+32×0.58824+7×0.55556]=0.587788第五章常微分方程数值解１.列出求解下列初值问题的欧拉格式：（1）y′=x2-y2,（０≤ｘ≤０.4）,y(0)=1，取h=0.2（2）y′=（y/x）2+y/x,（1≤x≤1.2）,y(1)=1，取h=0.1解：（1）)(*2.0221nnnnyxyy（2）))((*1.021nnnnnnxyyxyy第六章线性方程组的迭代法1.已知方程组1843252119421088-232142143214321xxxxxxxxxxxxxx（1）写出用简单迭代法和高斯-塞迭尔迭代法求解此方程组的迭代格式。（2）讨论上述两个迭代格式的收敛性，说明是否收敛及其原因。解：（1）原方程组可转化为：8821843942102521143213214321421xxxxxxxxxxxxxx8881828181848310910410210111211511232142134312421xxxxxxxxxxxxxx简单迭代格式：1818281818483109104102101112115112)(3)(2)(1)1(4)(2)(1)1(3)(4)(3)(1)1(2)(4)(2)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx高斯-塞德尔迭代格式：1818281818483109104102101112115112)1(3)1(2)1(1)1(4)1(2)1(1)1(3)(4)(3)1(1)1(2)(4)(2)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx（2）因为方程组的系数矩阵为主对角线占优阵，即满足niaaiinijjij,3,2,1,1由定理5可知上述两个迭代格式均收敛。