7.7数列极限的运算法则

(二期课改)**情景问题:中国古代思想家庄周(庄子)的名言:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”*引出数列:,21,,81,41,211,n请你通过观察上述数列中随着项数的变化项的变化规律,总结出该数列的特点.**导出问题:①上述数列是一个无穷等比数列,且所有的项都不等于零;②随着ｎ的逐渐增大,该数列的项明显的逐渐变的越来越小..,21a,,21a,,21a100010001001001616,21,,81,41,211,n*数列特点:*结论和解释:(但永远不会成为零)①当n越来越大时,就会逐渐变成越来越趋近于零的正数;nn21a②利用(课本-P37图)数形结合,观察和理解an逐渐在(越来越趋近于零)的含义;(想要多近就有多近)nan1234567891000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.550.50.6**无穷数列极限的概念:*在一个无穷数列﹛an﹜中,在项数n无限增大的过程中,如果an无限地趋近于一个常数A,那么A就叫做数列﹛an﹜的极限.*也可称之为:数列﹛an﹜收敛于A.*通常记作为:A;alimnn*读作:当n趋向于无穷大时,an的极限为A.**对“an越来越趋近于A的过程”的数学描述:当n逐渐变大时,对于预先给定的任意小的正数ε,总可以找到这样的n,使得an,an+1,an+2,…与A的差的绝对值都小于ε,即:ε.Aann*举例说明:如果任给ε=0.01,要使:,只需满足2n＞100,即:n＞6即可.0.01021n*感悟:“越来越趋近”和“越来越接近”的词意辨析.*介绍三类常见无穷数列的极限:1);q(0,qlim(1).nn0;n1lim(2).nA.Alim(3).n*注意:①一个数列存在极限的前提条件是它首先应该是一个无穷数列;②强调在常见极限(1)中满足条件:有其必要性.1q数列极限的运算性质：lim,lim,nnnnaAbB如果那么1lim()limlimnnnnnnnababAB、2lim()limlimnnnnnnnababAB、lim3lim()(0)limnnnnnnnaaABbbB、lim()limlimnnnnnCaCaCA特：前提数列极限的运算性质表明：如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应各项的和、差、积、商所组成的数列也都有极限，其极限值分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（其中作为除数的数列，它的极限不能为零）。数列极限的运算性质的实质：加、减、乘、除运算与极限运算的交换数列极限的运算性质的说明：前提：1、每一个已知数列都存在极限。2、这些数列的个数必须是有限的。推广：两个数列的和、积的极限运算，可推广至有限个数列的和、积的极限运算。lim++)limlimlimnnnnnnnnnnabcabc例如：(例1：计算下列数列的极限：4(1)lim1nn21(2)lim32nnn221(3)lim3nnnn4lim11nnn14lim1lim1limnnnnn012lim23nnn1lim(2)2lim(3)nnnn23221lim31nnnn221lim()3lim(1)nnnnn02323(5)lim237nnnnn2223(4)lim237nnnnn3223(6)lim237nnnnn2223lim(1)37lim(2)nnnnnn122323123lim()37lim(2)nnnnnnn02323231lim237nnnnnn2223lim372nnnnnn不存在22(7)lim(2)1nnnnn22222lim1nnnnnn3方法小结：10111011limmmmmppnppanananabnbnbnb1,;mp、极限不存在3,0.mp、极限002,;ampb、极限*0,0mpNb、例2：计算下列数列的极限：32(1)lim3nnn18(3)(2)lim52nnnn1223(3)lim32nnnnn12lim333nnn0131855lim215nnnn02213lim293nnn19limnnnnnkpcqtpdq1,;npqp、如果那么分子、分母同除以2,;npqq、如果那么分子、分母同除以lim,.nnr再利用求极限值方法小结：例3：计算下列数列的极限：222213521(2)limnnnnnn1232010(1)lim()nnnnn1111(3)lim11112341nn021(121)lim2nnnnlim1n1123lim2341nnn1lim1nn023212222(5)lim1333nnn2(12)12lim1313nnn4(21)lim31nnn0111(4)lim1335(21)(21)nnn1lim121nn1214433lim113nnnn数列极限的四则运算法则，只能推广到有限个数列的和与积的运算中去，对于无穷多个数列的和与积不成立。再次说明：例4：计算下列数列的极限：1(1)lim1nnnaa11(2)limnnnnnabab11lim11nnnaa1(11)0(1)1(11)(1)aaaaa或不存在11(2)limnnnnnabab1limnnnbbabaalim1nnnabbaab1(||||)(||||)1()1()abababaabaab不存在例5：数列极限的存在性问题存在的充要条件是limnnq1,1q（1）已知22lim2,nancnbnclim3nbnccna22lim_______nanbnccnanb则（2）已知22lim5,3nanbnn______ab则（3）若存在，求的取值范围。lim(12)nnxx0,1x6505ab1121x*+1(),nnnSTnNS又，例6：已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为,(0)qqn,nSlimnnT求解：当时，1q1naSn111(1)nnnSnaTSna1nn当时，1q1(1)1nnaqSq1111(1)1(1)1nnnnnaqSqTaqSq111nnqq111nnqqq1(01)lim(1)nnqTqq1(01)lim(1)nnqTqq练习：书P-42练习7.7（3）书P-44练习7.7（4）作业：一课一练：P-28练习7.7（3）一课一练：P-30练习7.7（4）作业：22(2)lim(2)1nnnnn12523(3)lim32nnnnn113(4)lim3nnnnn21(1)lim(33)2nnn222215943(5)lim()nnnnnn111(7)lim2558(31)(32)nnn111(6)lim(1)(1)(1)342nnn21lim()0,1,nnanbnab(8)已知求的值。（9）已知：nnk)53(lim存在，试求：实数的取值范围。k121(10)lim2(2)2nnnmn若，试求：实数的取值范围。m(11)lim(31)1,limnnnnnana若求的值。答案：0)1((2)31(3)33(4)3(5)2(6)11(7)61(8)1ab24(9),55(10)0,41(11)3例7、计算下列数列的极限：1(1)lim2nnnnn111lim211nnn(1)(1)lim(2)(1)nnnnnnnnn2221lim322nnnnnnnn21lim32211111nnnnnn(2)lim(1+2+12(1))nnn210111(3)lim()1210nnnnnn例8、(1)已知数列和满足：nanblim(54)7,lim(72)5nnnnnnabab＋试求lim(6)nnnab＋的值。(2)lim(31)1,limnnnnnana若求的值。