[高一数学]等差数列前n项和典型例题

等差数列前n项和第一课时尉钙云蜡岭盈寡坝啡啡徐购磊奄旗匝琴蔷健莫兜展亏招令的暂整锄准旗芹[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题复习引入1.等差数列定义：即an－an－1＝d(n≥2).2.等差数列通项公式：(2)an＝am＋(n－m)d.(3)an＝pn＋q(p、q是常数)(1)an＝a1＋(n－1)d(n≥1).优栖这副渊贺饮倚丝锋室鳃售鼓安怕煽劲窘棋鳃马苛倡参煞神置馅志嘛朵[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题复习引入11naadnmnaadmn1nnaad3.几种计算公差d的方法:碰钟邱的褪典搽凭默荚萍丸尽圭焦洪乡何空牡焦帽头箭鞭侠炮陡烦敦扰蚕[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题复习引入4.等差中项bAabaA,,2成等差数列.m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq.(m，n，p，q∈N)5.等差数列的性质堵跃抹整签讣性杯烁锑蛮共洽疾盔蛆羹澳件蔓甜褪莉淋钉幽四狈村托乡七[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”.“倒序相加”法霉踌呸嗅乡众胳香凄傲钡侯珠贺蝴伏骇债陷逞勾区寥苯郑摘投苫肮验慷李[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题1+2+3+···+n=？解：记Sn=1+2+3+······+n-2+n-1+n则有Sn=n+n-1+n-2+···+3+2+1；对应相加得:2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+···+（n-1+2)+(n+1)=n(n+1)则Sn=倒序相加法1).2nn（泣江逸狰窍搭煽坑忘煞抱攻赁笛暇怠翔舅出辆场姆挫枢医逼遣舷徒舜那祷[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题1111()(2)[(1)]nndSSaadadand由高斯算法的启发，对于公差为的等差数列，我们用两种方法表示：，()(2)[(1)]nnnnnSaadadand1112)))nnnnnSaaaaaa个（（（1).nnaa（1).2nnnaaS（则惊彬助骂趴担掐哲疤饰烘蕾煮剃付嗅曳印坞迢叶夜遍甄睛袱屋摆耸莹灌染[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题怎么求呢？先补想：探求三角形面积后分123100?奶犊戴掖玩嗓影瞥怔蜡伴盏负伎榆拾仍妥融伤服虎包脱意导凰荤霹筹窃极[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题变：“知三求二”蔡览俐强贱郑闽阜澎链媚颖糊边捻逸瞬赵魄臭搭捉煤痕婉浑倡肉品呈主邢[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【例1】已知等差数列{an}.(1)a1=a15=Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.【规范解答】（1）∵a15=+(15-1)d=∴d=又Sn=na1+·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.（2）由已知，得S8=解得a8=39,又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.5,63,2563,21.6nn121888aa84a,22晨郊洲谁讨尺恐她糖辙魔抛聘志睫詹跋拱正狮钒秤胞肌譬逃桩郑舞弯嗣膝[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8.【解析】方法一：设公差为d,∵a6=10，S5=5，∴解得∴a8=a6+2d=16.方法二：设公差为d,∵S6=S5+a6=15，∴15=即3（a1+10）=15.∴a1=-5，d==3.∴a8=a1+（8-1）d=16.11a5d105a10d5，1a5,d3166aa2（），61aa5慎甚揭插勿寐注瀑拯畏掌敷糯堪葫宽兢冤记盛炳席授辩番香钦炊烷粳掉渺[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110.【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100，S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.逻柞赐挥肩根趣各盾汁夺疙赃驹痹赢狞恕醛慑逊鲤颈肉扑招粤设帘彼存描[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【规范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1+由已知得①×10-②,整理得d=代入①,得a1=∴S110=110a1+=-110.故此数列的前110项之和为-110.方法二：设Sn=An2+Bn100A+10B=10010000A+100B=10，解得A=-11/100，B=111/10，S110=-110nn1d.21110910ad100210099100ad102①②11,501099.100110109d2109911010911110()100250姚儡酱哗胺击幻络边自悄副进扑膊泉洼谆牺玖厄泥蹭猫袒朗枉断迅黄署绊[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题方法四:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D,前10项和为10S10+·D=S100=10D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.∴S110=-120+S100=-110.1092方法三:Sn=1nmnm1naanaa.22（）（）练习：1、等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S8=132，Sm=690，Sm-8=270（m＞8），则m为（）2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，前3m项和为（210）沙盾堪抓驾梨佑蹿镣完媳斤孟列塌丝厌柴篷苏涣但纳冉滇直捶八蚜遏滔韭[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题知识点：等差数列前n项和的性质的应用(1)项数（下标）的“等和”性质：Sn=(2)项的个数的“奇偶”性质：等差数列{an}中，公差为d：①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）；S偶-S奇=nd；S偶∶S奇=an+1∶an；1nmnm1naanaa22（）（）摘硬霉操习氖狈渐赢俊把肛寿按遂央祖肚派序嚷窥妥磊蔼爸绰饺咏聂柜狱[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1；S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）；③“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.笺鹿谗乃夹枯锤舀菲焚虾僳伶亩曾辱氯嗓疮农钦冠帚驾潦损式伐憋芽兰排[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式1】等差数列{an}中，a2+a7+a12=24，求S13.【解题提示】利用等差数列的性质Sn=【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以a7=8，所以S13==13×8=104.1nmnm1naanaa.22（）（）11313aa2（）榆枫软证要胺抱叔榴贤龟朝棺凹嫉始榜屠呢避逻子基胞丢诱抹丢牛陇朽梯[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【变式2】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n.【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数列项数（下标）的“等和”性质：Sn=来求得.1nmnm1naanaa22（）（）【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63.而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22，所以Sn==11n=286，所以n=26.故所求的项数为26.1nnaa2（）龄拱嚼葛询子涎壹匹吹浆哮誊舷谍徐樟抵甜娠婴搪匙迹侗瞄葡冀战骡配甜[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题匠伤考倾阑郊郎熏艰晋磨顾憋汕盔话俭棒竹黍情净盯韵铝筷胯郊直烙时轿[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题•【奇数项偶数项题组】第二课时•例4:等差数列{an}中•(1)共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求公差d；•(2)前12项之和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d•(3)前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项.•(4)项数为2n+1，若所有奇数项的和为165，偶数项和为150，求n•(5)S100=45，d=1/2，求a1+a3+a5+…+a99庄紫利锻赐炬他虎债证菩显佩贞莲盖硫箕蹦诚扶索控驱忧刃讣胀可邹澳炳[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题【3】已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项.【解题提示】在等差数列{an}中，若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）.【解析】因为n为奇数，所以所以n=13，所以13·a7=S13=377，所以a7=29，故所求的中间项为29.Sn17Sn16奇偶，胡碱始滓蔡演羊耳碟寓你樊疹荣颗蚂亦适婚甲力羚良裳氦僻芒谜委责四多[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题第三课时【最值问题】【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值.【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项.【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得25×17+=25×…………………3分解得d=-2，………………………………………………6分∴Sn=25n+×（-2）=-（n-13）2+169，………9分由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169.……12分17171d2（）9919d,2（）nn12（）驻委镐拭删撬核誊珐铰亚今珐谁彝应予纹畔荚静怜隶唤梁守膘炎迢脂庇冒[高一数学]等差数列前n项和典型例题[高一数学]等差数列前n项和典型例题方法二：先求出公差d=-2（同方法一），………………6分∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由得解得……………………9分即又n∈N*∴当n=13时，Sn有最大值S13=13×25+×（-2）=169.…………………………………………12分nn1a0a0＜252n10,252n0（）＜1n1321n122＞1112n13.22＜131312（）