概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{；(3)},2,1{；(4)}|),{(22yxyx．2．在}10,,2,1{，}432{，，A，}5,4,3{B，}7,6,5{C，具体写出下列各式：(1)BA；(2)BA；(3)BA；(4)BCA；(5)CBA．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8A，}5{BA；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{BA；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{B，}10,9,8,7,6,1{BA，}5,4,3,2{BA；法2：}5,4,3,2{BABABA；(4)}5{BC，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{BC，}4,3,2{BCA，}10,9,8,7,6,5,1{BCA；2(5)}7,6,5,4,3,2{CBA，{1,8,9,10}CBA．3．设}20|{xx，}121|{xxA，}2341|{xxB，具体写出下列各式：(1)BA；(2)BA；(3)AB；(4)BA．解：(1)BBA，}223,410|{xxxBBA；(2)BA；(3)AAB，}21,210|{xxxAAB；(4)}231,2141|{xxxBA．4．化简下列各式：(1)))((BABA；(2)))((CBBA；(3)))()((BABABA．解：(1)ABBABABA)())((；(2)ACBCABCBBA)())((；(3)))(())()((BABBABABABAABABAABAA)(．5．A，B，C表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)CBACBACBA；(2)BCACAB；(3))(CBA；(4)BCACAB．解：(1)A，B，C恰有一个发生；(2)A，B，C中至少有一个发生；(3)A发生且B与C至少有一个不发生；(4)A，B，C中不多于一个发生．6．对于任意事件A，B，证明：ABAAB)(．3证：ABBAABAABABAAB)()(AAAA．7．把事件CBA表示为互不相容事件的和事件．解：)(])[(CABAAACBACBA)(BCACBABAACABAACBABCABAA)(CBABAA．8．设0)(AP，0)(BP，将下列5个数)(AP，)()(BPAP，)(BAP，)()(BPAP，)(BAP按有小到大的顺序排列，用符号“”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(AP，0)(BP，)()(BPABP，故)()()()()()()()()(BPAPBAPAPBAPABPAPBPAP，所以)()()()()()()(BPAPBAPAPBAPBPAP．(1)若AB，则有)()()(BAPBPAP，)()(BAPAP；(2)若AB，则有)()(APBAP，)()()(BPAPBAP．9．已知BA，3.0)(AP，5.0)(BP，求)(AP，)(ABP，)(BAP和)(BAP．解：(1)7.0)(1)(APAP；(2)BA，AAB，则3.0)()(APABP；(3)2.0)()()()(ABPBPABPBAP；(4))(1)()(BAPBAPBAP5.0)]()()([1ABPBPAP．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．4解：从10件产品中任取3件，共有310C种取法，(1)记A{从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C种取法．则事件A共包含2614CC个样本点，21)(3102614CCCAP．(2)记B{从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，C{从10件产品中任取3件，没有次品}，则CAB，且A与C互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C种取法，则61)(31036CCCP，32)()()()(CPAPCAPBP．(3)易知C{从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1)(CPCP．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C种选法，(1)记A{从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C种选法，则121)(31025CCAP．(2)记B{从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C种选法，则5201)(31024CCBP．12．设在口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设A{最后是白球留在口袋中}，事件A即把ba个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为baaAP)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设iB{生日在i月份}，则iB{生日不在i月份}，12,,2,1i，易知121)(iBP，1211)(iBP，12,,2,1i．(1)设A{6个人中至少有1人的生日在10月份}，则A{6个人中没有一个人的生日在10月份}，6610)1211(1)]([1)(1)(BPAPAP；(2)设C{6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(CBPBPCCP；(3)设D{6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(CPCDP．14．在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x，已知，当Rx23，弦长大于半径6R，从而所求的概率为232232RRP．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h，乙船的停泊时间是2h，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设A{两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则A{一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x和y表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(xyyxyxA，从而1207.0242221232124)()()(2222AAP；8993.0)(1)(APAP．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设A{甲击中目标}，B{乙击中目标}，C{目标被击中}，则BAC，由题设知A与B相互独立，且6.0)(AP，5.0)(BP，所以)()()()()(ABPBPAPBAPCP8.0)()()()(BPAPBPAP，从而43)()()()()|(CPAPCPACPCAP．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，7又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：A{甲河流泛滥}，B{乙河流泛滥}，C{该地区被淹没}，则BAC，由题设知1.0)(AP，2.0)(BP，3.0)|(ABP，从而)()()()()(ABPBPAPBAPCP27.0)|()()()(ABPAPBPAP，15.0)()|()()()()|(BPABPAPBPABPBAP．18．设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A{有一件产品是不合格品}，B{另一件产品也是不合格品}，iD{取出的两件产品中有i件不合格品}，2,1,0i，显然，21DDA，21DD，2DBAB．{从n件产品种任取两件}，共有2nC种取法；若1D发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m件不合格品中取得，共有1mC种取法；另一件为合格品，只能从mn件合格品中取得，共有1mnC种取法，则事件1D中共有11mnmCC个样本点，)1()(2)(2111nnmnmCCCDPnmnm，类似地，)1()1()(222nnmmCCDPnm，所以)1()1()(2)()()()(2121nnmmmnmDPDPDDPAP，)1()1()()(2nnmmDPABP，于是所求概率为121)()()|(mnmAPABPABP．819．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设iA{第i次取得合格品}，3,2,1i，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321AAAPAAPAPAAAP．20．设事件A与B互不相容，且1)(0BP，证明：)(1)()|(BPAPBAP．证：事件A与B互不相容，则0)(ABP，)(1)()(1)()()(1)()()()|(BPAPBPABPAPBPBAPBPBAPBAP．21．设事件A与B相互独立，3.0)(AP，45.0)(BP，求下列各式的值：(1))|(ABP；(2))(BAP；(3))(BAP；(4))|(BAP．解：事件A与相互独立，事件A与B也相互独立，(1)45.0)()|(BPABP；(2))()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BPAPBPAP615.0；(3)385.0)](1)][(1[)()()(BPAPBPAPBAP；(4)7.0)()|(APBAP．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设A{该种动物能活到10岁}，B{该种动物能活到15岁}，显然AB，由题设可知92.0)(AP，67.0)(BP，所以9267)()()()()|(APBPAPABPABP．923．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机