02-晶体的弹性

第二章晶体的弹性晶体在外力作用下，一般发生两种变化：一种是位置的变化,包括刚性平移和转动，另一种是形变，包括体积和形状的变化，亦即质点相对位置的变化。晶体发生形变的同时，在晶体中将产生与形变有关的内力。通常描述形变用应变张量，描述内力用应力张量。晶体的弹性是指外力撤除后，晶体能消除形变恢复原状的性质。这种能恢复的形变称弹性形变。每种晶体都具有一定的弹性限度，在弹性限度内，晶体可以看成是一个弹性体。由于晶体是各向异性体，描述晶体弹性性质的物理量为张量。应力矢量和应力张量晶体中质点的平移运动方程位移与应变张量虎克定律第二章晶体的弹性2.1位移与应变张量（1）一、位移与位移梯度晶体在外力作用下，将可发生刚性平移、转动以及质点相对位移，从而使晶体由A变到A'如图所示，图中虚线上的格点表示质点的初始位置，实线上格点表示发生位移后的终止位置。对于A内任一质点p(X1，X2，X3)，相应的变化到p'(X1'，X2'，X3')处，显然p点产生了一个位移(X1，X2，X3分别表示直角坐标系的三个坐标)。AA'pp'OLL'u晶体中质点位移示意图在弹性限度范围内，当外力清除，p'点又回复到p点，这里坐标(X1'，X2'，X3')是(X1，X2，X3)的连续函数，即)X,X,X(XX)X,X,X(XX)X,X,(XXX321333212232111′=′′=′′=′2.1位移与应变张量（2）即p‘点的位置矢量以及p点的位置矢量均可以表示为(X1，X2，X33)的函数。2.1位移与应变张量（3）另外L又是时间t的函数，所以位移矢量也是坐标和时间的函数，表示为),X,X,X(L-t),,XX,X(L)t,X,X,X(u321321321t→→→′=由于P点的任意性，u((X1，X2，X3,t)是描述晶体中所有质点的位移参量。在一般情况下，位移矢量可由刚性运动和形变两部分产生。晶体不存在形变，只存在刚性运动时，质点仍产生位移，因此位移矢量与形变没有必然的联系，不能用来描述晶体的形变。OLL'dLPQP'Q'dL'uu+du2.1位移与应变张量（4）→→′+′LdL)dXX,dXX,dXX(u332211+++→我们再考察P点附近的任意点Q的坐标为(X1+dX1，X2+dX2，X3+dX3)，其位置矢量为L+dL。在同样外力作用下，当P点变到P´点位置时，Q点变到Q‘点的位置，Q’点的位置矢量用表示，Q点的位移矢量用表示。微分位移示意图2.1位移与应变张量（5）),X,X,X(Ld)t,X,X,X(Ld)t,X,X,X(ud321321321t→→→−′=由于P、Q两点的位移矢量一般说来是不同的，因此必有一位移差，如果P、Q两点无限靠近，则此位移差的极限定义为微分位移。它是一个矢量：→′Ld→Ld将和两矢量用分量表达式代入，并注意到微分位移是在时间为常数情况下定义的，则有)dXXudXXudXXu(k)dXXudXXudXXu(j)dXXudXXudXXu(i)X,X,(Xkdu)X,X,X(jdu)X,X,X(idu)tXXXud333223113332222112331221111321332123211321∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=++=→，，，（2.1位移与应变张量（6）写成矩阵形式为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321332313322212312111321dXdXdXXuXuXuXuXuXuXuXuXudududu即1,2,3ji,dXXudujjii=∂∂=2.1位移与应变张量（7）其中的三阶矩阵可以表示为位移矢量的梯度，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇=332313322212312111321XuXuXuXuXuXuXuXuXu)X,X,X(uEE称为位移梯度矩阵2.1位移与应变张量（8）仔细研究微分位移和形变的关系时，发现晶体没有形变，只存刚性转动时，其微分位移或位移梯度仍不为零，如图所示。因此微分位移或位移梯度与形变仍不存在必然的联系，用它们描述晶体的形变也是不适当的。A'PP'OLL'uu+duQQ'AdLdL'微分位移与刚性转动的关系示意图2.1位移与应变张量（9）二、应变张量为了描述形变，必然引入一个与形变紧密联系在一起的参量。人们发现，如下形式的参量△是形变的真实量度。23212321)]X,X,X(Ld[)]X,X,(XLd[→→−′=Δ对于晶体的一切刚性运动，△总是等于零，只有当晶体存在形变时候，△才不为零。现在我们从△的表达式出发，推导应变张量。——描述晶体形变的物理量2.1位移与应变张量（10）因为dXXudXXudXXudXdudXdXdXXudXXudXXudXdudXdXdXXudXXudXXudXdudXdX333223113333333222211222223312211111111⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂+=+=′∂∂+∂∂+∂∂+=+=′∂∂+∂∂+∂∂+=+=′23222123222122dXdXdXdXdXdX)Ld()Ld(−−−′+′+′=−′=Δ→→考虑到晶体在弹性限度内的位移梯度矩阵的分量很小，其二次项相对一次项可忽略不计。所以313113322332211221233322222111dXdX)XuXu(2dXdX)XuXu(2dXdX)XuXu(2dXXu2dXXu2dXXu2∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=Δ2.1位移与应变张量（11）将上式写成矩阵形式⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂×=Δ)XuXu(21)XuXu(21Xu]dXdXdX[21331122111321)XuXu(21Xu)XuXu(212332221221∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂3323321331Xu)XuXu(21)XuXu(21dXdXdX321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡×式中的二阶对称矩阵即为描述形变的应变张量。用η表示应变张量矩阵，则有=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211ηηηηηηηηηη⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂)XuXu(21)XuXu(21Xu1331122111)XuXu(21Xu)XuXu(212332221221∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂3323321331Xu)XuXu(21)XuXu(212.1位移与应变张量（12）其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂=∂∂=∂∂=)XuXu21)XuXu(21)XuXu(21XuXuXu122121121331133123323223333322221111（ηηηηηηηηη比较位移梯度矩阵与应变张量矩阵，发现两者有如下联系：)u(21)EE(21u′∇+∇=′+=η式中的E'表E的转置，▽u'表示▽u的转置。此式告诉我们，当晶体的位移梯度矩阵为零时，应变张量必定为零，此时无形变。2.1位移与应变张量（13）222222211263113532234333222111⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=========ηηηηηηηηηηηηηηη因为应变分量只有六个是独立的，因此可以用简缩下标表示应变分量。其对应关系为：2.1位移与应变张量（14）则二阶对称应变张量变为一个列矩阵：XuXuXuXuXuXuXuXuXu122113312332332211654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ηηηηηηη2.1位移与应变张量（15）若令矩阵微分算符▽s为如下形式：0XXX0XXX0X000X000Xs121323321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇则us→∇=η此式反映应变张量与位移矢量的关系。2.1位移与应变张量（16）三、应变分量的物理意义根据应变分量η1,η2,η3与位移的关系式，不难看出，η1为X1方向上的相对伸缩量；η2为X2方向上的相对伸缩量；η3为X3方向上的相对伸缩量。为了说明应变分量η4,η5,η6的物理意义，我们在晶体的一个平面上取相邻近的三个质点A、B、C，选取坐标系，使该平面为X3面。令A、B两质点相距为dX2，A、C两质点相距为dX1。当晶体发生形变时，质点在平面内均产生了位移，而且各质点的位移一般是不同的。如果我们只考查沿X1方向和X2方向的位移，那么A点变到A‘点发生u1,u2的位移，B点变到B’处，沿X1方向发生u1+du1的位移，C点变到C'处，沿X2方向发生u2+du2的位移。显然，总的效果是A'B'相对AB发生了θ12的角度变化，A'C'相对AC发生了一个θ21的角度变化。A(O)BCX1X2dX1dX2A'B'C'u2u1DD'du1du212θ21θ切应变示意图2.1位移与应变张量（17）612211212212XuXutantanηηθθ==∂∂+∂∂=+2tantan61212211221ηηθθθθ==+=+因为θ21和θ12均很小，近似有参照图，可见上式表明，η6（或者η12，η21）是表示角应变的。由于角应变与切应力相对应。所以也叫切应变。用类似的方法可以说明η4和η5也是表示切应变的。2.1位移与应变张量（18）为了形象的表示出应变分量的物理意义，我们在弹性体中取一个正平行六面体微分体，并令三个坐标轴与正平行六面微分体的棱边重合，则正平行六面微分体的应变，应包括X1，X2，X3三个方向的伸缩应变和X1面、X2面、X3面上的切应变。下图分别绘出正六面微分体中与应变分量相对应的形变示意图。其中(a)、(b)、(c)分别为X1、X2、X3方向的伸缩应变；(d)、(e)、(f)分别为X1平面、X2平面、X3平面的切应变。2.1位移与应变张量（19）X1X3X2111dxxu∂∂X1X3X2222dxxu∂∂X1X3X2333dxxu∂∂X1X3X23223xu∂∂=θ2332xu∂∂=θX1X3X23113xu∂∂=θ1331xu∂∂=θX1X3X22112xu∂∂=θ1221xu∂∂=θ(a)(b)(c)(d)(e)(f)由图可见，一个正平行六面微分体的应变要用九个分量描述（独立的只有六个）。当正平行六面微分体的体积接近零时，它描述的即是此微分体内一点附近的应变。因此，应变张量是描述晶体内的一点附近的形变情况的物理量。2.1位移与应变张量（20）2.2应力矢量和应力张量（1）根据固体物理知识，不论晶体属于哪种结合类型，其内部质点的相互作用力都可以分为吸引力和排斥力两种。这两种力都随着原子间距离的增大而减小，然而它们的变化规律不同。质点相互作用力的一般表达式为2krBrAF−=式中A、B为常数；k随晶体类型的不同而取不同值，其值为3～11之间的整数；第一项代表排斥力；第二项代表吸引力。下图表示质点间相互作用力与质点间距离的关系。原子间距r原子间的相互作用力F与位能W斥力:A/rk合力引力:B/r2位能r02.2应力矢量和应力张量（2）质点间相互作用力与质点间距离的关系示意图2.2应力矢量和应力张量（3）当晶体未受外力作用时，各质点间的距离保持一定，r=r0，此时吸引力与排斥力相等，f=f斥+f吸=0，晶体处于平衡状态。当晶体受到外力作用时，原来的力学平衡状态遭到破坏，需要建立新的平衡状态。例如在拉力作用下，由于形变使质点间的吸引力占优势。这个力是反对质点间的距离继续增大的，而且它的数值随着距离的增大而增大，当其大到同拉力相等时，质点间的距离就不再增加，建立起新的力学平衡，晶体也就保持着一定的形变。这种由于形变而在晶体内部形成的相互作用力称为内力。在弹性范围内，当外力撤消后，这种内力就使晶体恢复原状。可