计算机控制技术-8能控和能观标准型

2020/5/141第三节SISO系统状态空间表达式的能控和能观标准型1.能控标准型（第一、第二能控标准型）2.能观标准型（第一、第二能观标准型）2020/5/142标准型：在一组特定的基底下，状态空间表达式所具有的某种特定形式。能控标准型：状态反馈系统设计能观测标准型：状态观测器的设计前提：线性非奇异变换，不改变系统能控性和能观测性n维线性定常系统如果状态完全能控，必有：一、能控标准型),(BAnbAbAAbAbbbrankBAABBrankrnnrrn111111上述能控判据矩阵中，有且仅有n个列向量是线性无关的，可取n个线性无关的列向量或其某种组合构成状态空间的一组基底。所谓能控标准型，就是指系统在上述基底下所具有的标准形式。要使列向量取法唯一，则r=1。故能控标准型仅讨论SI系统。对于MI系统，由于线性无关的列向量取法不唯一，导致其能控标准型不是唯一的。2020/5/143第二能控标准型（常用能控标准型式）100,100001000010121210212bPbAPPAcncc][1102ncCPC其中：定理2：如果单输入线性定常系统：状态完全能控，CxybuAxxxPxc2xCyubxAx将状态方程化为第二能控标准型：则存在线性非奇异变换：选取原则：以能控判别阵列向量的组合为基底，化A为友矩阵2020/5/144非奇异变换阵为：101001],,,[12121212nnnncbbAbAP是相乘的结果CbbAbCbbAbACnnnnnn11212110)()(2cCP)1,,1,0(nii2020/5/145推导目的：要得出121022100001000010nccPAP如果令：][112nncpppP即要求：][100001000010][][1122012101111nnnnnnnnnnnnpppppppppppA则要推导出：1122101,,nnnnnnnnnppApppAppAp2020/5/146],,,[112nncpppP推导过程：令由列向量的线性组合组成，此时这些向量仍然是列线性无关的。变换阵取法如下：2cPcQbpAbbpbAbAbpbAbAbpnnnnnnnnn112312212111其中：（1）101001],,,[],,,[1212121112nnnnnncbbAbApppP写成矩阵形式有：2020/5/147根据式（1）有：111122212211111212112312200111001110012111)()()()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnppAbbbAbApppbAAbbbAbbAApppbAbAAbbbbAbAbAAppbbAAAbbAbAAbbbbAbAbAAp所以，写成矩阵形式，就是我们在推导目的中所说的：2020/5/1481210212101111220112100001000010100001000010][][ncnnnnnnnnnnnncPppppppppApApApAP2020/5/14912101210212212100001000010100001000010nnccccPPAPPA所以故由，可得][1102ncCPCbPbc12nnncpbpppbPb],,,[112欲使上式成立，必须有：100bnpb由推导过程的（1）式知道：而：2020/5/1410定理2说明：2）只有系统是状态完全能控时，才能写成第二能控标准型。在求系统的第二能控标准型时，首先要判断系统的能控性，不能控则不能写成能控标准型。3）当传递函数阵没有零极点相约时，和是系统传递函数分母和分子多项式系数。直接得到第二能控标准型。ii01110122111)()(ssssssbAsICsGnnnnnnn1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数iA中的0111)det(aaaAIAInnn2020/5/1411[例]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为第二能控标准型。注意：非特别标明，能控标准型指的是第二能控标准型。01111011,CBAxCyBuAxx系统状态完全能控,21101nrankQABBQcc[解]：1）判断系统能控性2020/5/14122）计算特征多项式1)det(2AIAI0,110故：10111101111010112BABPc01101010A11102cCPCB3）计算变换阵，并化为第二能控标准型2020/5/1413[例]：写出以下传递函数的第二能控标准型。611654)(232ssssssG[解]：)1)(2)(3(1)2(611654)(2232ssssssssssG无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。1,4,56,11,6210210所以：100,611610001010001022102ccBA145][2102cC第二能控标准型为：2020/5/14141、第一能观测标准型（对偶于第一能控标准型）选取原则：直接以能观测判别阵的逆为基底定理3：如果单输出线性定常系统：状态完全能观，CxybuAxxxPxo1则存在线性非奇异变换：xCyubxAx将状态方程化为第一能观测标准型：1210111100001000010nooAPPA其中：]001[1oCPC111nooCACACQP11011nobPb非奇异变换阵为：2020/5/1415证明思路：用对偶原理证明，第一能观测标准型，就是其对偶系统的第一能控标准型。********xCyuBxAxCxyBuAxx1：2：TTTBCCBAA***,,以下两系统互为对偶系统：其中：1的第一能控标准型为：001,100010001000111210111bPbAPPAcncc][],,,[11011nncbCACAbCbCPC2020/5/1416根据对偶原理，的第一能控标准型就是的第一能观测标准型2根据对偶关系，的第一能控标准型为：1210*100001000010nTAA]001[*TBC110*nTCB21注：变换阵互为转置逆：11*1*****111)()()(nTTnTTTTTnTcoCACACCACACBABABPP2020/5/1417定理3说明：2）只有系统是状态完全能观测时，才能写成能观测标准型。所以，在求系统的能观测标准型时，首先要判断系统的能观测性，不能观测则不能写成能观测标准型。3）将系统化为第一能观测标准型的非奇异变换矩阵，就是能观测性判别矩阵Qo的逆。1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数iA中的0111)det(aaaAIAInnn4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异矩阵互为转置逆。2020/5/14182、第二能观测标准型（常用能观测标准型）定理4：如果单输出线性定常系统：状态能观测,CxybuAxxxPxo2xCyubxAx将状态方程化为第二能观测标准型：则存在线性非奇异变换：以能观测判别矩阵行向量的组合为基底，对偶于第二能控标准型1210212100010001000nooAPPA]100[2oCPC其中：11012nobPb2020/5/1419CCACACAPnnnno21121211210001非奇异变换阵为：证明思路：仍然用对偶原理证明，第二能观测标准型，就是其对偶系统的第二能控标准型。TnnnnTcobbAbAPP101001],,)(,)[()(12121**2**1**212TTCBAA**,将代入上式，即可得到。12oP2020/5/1420定理4说明：2）只有系统状态完全能观时，才能写成能观测标准型3）当传递函数阵没有零极点相约时，和分别是系统传递函数阵分母和分子多项式的系数。ii01110122111)()(ssssssbAsICsGnnnnnnn1）其中是系统的不变量，即特征多项式的系数iA中的0111)det(aaaAIAInnn4）互为对偶的系统，化为能控标准型和能观测标准型的非奇异变换阵互为转置逆。2020/5/1421[例]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为第二能观测标准型。注意：非特别标明，能观测标准型指第二能观测标准型01111011,CBAxCyBuAxx[解]：系统状态完全能观测,21111nrankQCACQoo1）判断系统能观测性2020/5/142201101011011***1*212CCABBAPPTTTco01101010A1011110110212