2017年江苏省专转本高数一极限、连续与间断

第一章极限、连续与间断本章主要知识点求极限的几类主要题型及方法连续性分析间断判别与分类连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。（1）题型IlimmxnPxPx方法：上下同除以x的最高次幂例1.1．5422limxxxxx解：原式534111lim11xxxxx例1.2．2243123lim31xxxx解：原式222243123lim13xxxxxx2241332lim13xxxx=12例1.3．111313limxxxxx-2-解：原式=111313limxxxxx=xxxxx11111313lim=3例1.4．)214(lim2xxxx解：原式=xxxxx2141lim2=211411lim2xxxx=41例1.5．xxxxxxx234234lim解：原式=xxxxx)21()43(1)21()43(1lim=1（2）题型II()lim()mxanpxpx原式=(),0(),()0,()0()()0mnnnmnmpapapapapapapa上下分解因式(或洛比达）,例1.6．12coslim1xxx解：原式=1/2例1.7．12sinlim231xxxxxx解：原式=-3-例1.8．32lim221xxxxx解：原式=)3)(1()1(lim1xxxxx=3lim1xxx=41例1.9．11lim31xxx解：令6ux，原式=322111(1)(1)limlim1(1)(1)uuuuuuuuu＝23例1.10.2232lim221xxbxaxx解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim)2)(1()2(2lim2axxaaxxxxaxaxa=2,b=-4（3）题型III若0)(limxfax，)(xg有界0)()(limxgxfax例1.11.22limarccot(sin(1))3xxxx解：因为2lim3xxx＝０，而2arccot(sin(1))x有界所以原式＝０。例1.12．202limln(1tan)cos()xxx解：因为ln(1tan)0x（0x），)2(cos2x有界，所以原式＝０．例1.13．2006limsin(sin(2006))1xxxxx-4-解因为01111lim1lim3xxxxxxxx，2006sin(sin(2006))x有界；所以原式＝０。（4）题型IV10lim(1)uuue识别此类题型尤为重要，主要特征为1未定式．步骤如下：uvuvuveuulim1})1lim{()1lim(例1.14．xlim322()1xxx解：原式＝xlim(32)3(1)1xx＝xlim3(32)113311xxxx＝3(32)lim91xxxee．例1.15．xlim221251()23xxxxx解：原式＝xlim2232(21)232332232123xxxxxxxxxx＝2(32)(21)lim623xxxxxee例1.16．xxxx120)sin1(lim解：原式=1)sin1(lim1)sin(sin12022xxxxxxxx（5）题型V等价无穷小替换替换公式：)0(x-5-xx~sinxx~tan221~cos1xxxx~arcsinxx~arctanxnxn1~11xx~)1ln(xex~1替换原则：乘除可换，加减忌换。例1.17．30sinlimxxxx错解：30limxxxx=0例1.18．1)5sin()21ln(lim202xxexx解：原式=252lim20xxxx=-20例1.19．2320arctan121limxxx解：原式=220)2(31limxxx=32例1.20．3942lim38xxx解：令8xu，则8xu原式＝0limu32742163uu＝0limu12711811343uu-6-＝0limu27.3181.2134uu＝227例1.21．xxxx30tansintanlim解：原式=2121lim)cos1(tanlim32030xxxxxxxx例1.22.)21ln(102)(coslimxxx解：原式=222011(cos1)112ln(12)limcos1240lim(1cos1)xxxxxxxxee例1.23.4312arctan1arcsinlim22xxxxx解：原式=23)1)(12()43(lim43121lim2222xxxxxxxxxx例1.24.)11sin()cos(lim3sintan0xxeexxx解：原式=)11sin()cos()1(lim3sintansin0xxeexxxx=111lim3sintan0xexxx=03tansinlim112xxxx-7-（6）题型VI洛必达法则（见导数相关内容）；（7）题型VII变上限积分有关积分（见积分相关内容）；二、极限应用—连续性分析定义：00lim()()xxfxfx变形：000(0)(0)()fxfxfx,其中0(0)fx分别表示左、右极限。例1.25．sin,0tan(sin2)(),0xxxfxax，若()fx在0x处连续，求a。解：00sin1lim()lim(0)tan(sin2)2xxxfxfax，故12a例1.26．221ln(12)sin,0sin2,01()01xxaxxxxfxbxxcxx，，若()fx在0x处连续，求,,abc解：201ln(12)(00)lim(sin)sin2xxfaxxx2001ln(12)limsinlim1sin2xxxaxxx201(00)lim()1xxxfcx)(xf4ce由(00)(00)(0)fff得：41bce故41,,bcea为任意实数-8-例1.27．1()sin,0()0,0gxxfxxx，其中()gx为有界函数，问()fx在0x是否连续？解：因为001lim()lim()sin0(0)xxfxgxfx所以，()fx在0x处连续。例1.28．sin1()1xfxx在1x可能连续吗？解：1010111(10)lim()limlim111xxxxxffxxx，1010111(10)lim()limlim111xxxxxffxxx不论(1)f取何值，()fx均不能连续。三、极限应用—间断识别及分类1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2．分类方法：（a）00(0)(0)fxfx，0x为可去间断；（b）00(0)(0)fxfx，0x为第一类间断，或称跳跃型间断；（c）)0(0xf、)0(0xf至少有一个不存在，0x为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断。例1.29．xxxxftan)()(解：间断点为kx，2k，Zk,对于2kx，Zk,因为0)(lim2xfkx，所以2kx为可去间断。对于kx，当0k，即0x，xxxxtan)(lim0，0x可去间断；-9-对于kx，当1k，即x，xxxxtan)(lim0,x可去间断；当0,1k，xxxkxtan)(lim，xk为第Ⅱ类无穷间断。例1.30．11sin()xxfxex解：间断点1x，01110(10)sin(1)lim0xxfee，1110(10)sin(1)limxxfee。()fx在1x为Ⅱ类无穷间断。10lim()xfxe，x=0为可去间断点。例1.31．)2)(1)(3()1ln(2)(xxxxxxf解：定义域为1x。间断点为2,1xx。因为)(lim1xfx，)(lim2xfx所以2,1均为)(xf的Ⅱ类无穷间断。例1.32．xexxxf2122)(解：定义域为22x，间断点为2,2x对于2x，)(lim02xfx，2x为第Ⅱ类无穷间断；对于2x，xxxexxf2102022lim21)(lim，2x为第Ⅱ类间断。注：对2,2x仅考虑了其一个单侧极限。例1.33．.0,,0,1,0,sin1)(21xexxxxxfx-10-解：间断点是：2,,xZkkx，x=0是可能间断点。对于x=0，f(0+0)=21e,f(0-0)=,x=0为第Ⅱ类间断；对于,,Zkkxkxxf,)(lim为第Ⅱ类间断；对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第Ⅱ类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理：)(xf在闭区间ba,内连续，且0)()(bfaf，则)(xf在ba,至少有一零点，即存在),(bac，使得0)(cf。应用此定理需要注意以下几点：(0)()fx如何定义。)1(ba,区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。)2(验证)(xf在闭区间ba,上的连续性，)3(验证)(xf在两端的符号。)4(此定理不能确定)(xf是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证)(xf在ba,内的单调性（参见导数应用部分）例1.34．证明：2xxe在1,0内有一实根证：构造2)(xxexf，1,0x易知)(xf在1,0上连续，且2)0(f，02)1(ef，故0)1()0(ff，由连续函数介值定理知，0)(xf在1,0有实根，即命题得证。例1.35．证明2324xxx至少有一正根证明：令23)(24xxxxf，2,0x)(xf在2,0内连续，且4)2(,2)0(ff，0)2()0(ff由闭区间连续函数介值定理得，)(xf在2,0至少有一根，即命题得证。五、数列极限-11-定理：对充分大的n成立，nnncba，如果Acannnnlimlim，那么Abnlim。例1.36．)2211lim(222nnnnn解：因为12122112122222nnnnnnnnnn，21)(2)1(lim21lim22nnnnnnn21)1(2)1(lim121lim22nnnnn，所以，原式=1/2。单元练习题11．4)(limxxaxax，则a。2．如果axxf2)(00xx，在0x处连续，则a。3．xxf3cos1)()0(x与nmx等价无穷小，m，________n。4．11