铅球抛掷问题数学建模优秀论文

12012全国大学生数学建模竞赛四川文理学院选拔赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是：体育训练问题我们的参赛报名号为：所属院系及专业（请填写完整的全名）：数财系数学与应用数学参赛队员(打印并签名)：1.刘瑶（2011040105）2.杨肖满（201104013）3.李从文（2011040123）日期：2012年05月07日评阅编号（由数学建模协会评阅前进行编号）：2体育训练问题目录一、问题的提出…………………………………….…….….……..3二、问题分析……………………………………….………………3三、模型假设…………………………………………….…………4四、符号定义……………………………………………………….4五、模型建立与求解………………………………………………..4六、模型的评价…………………………………..…………………11七，建议方案…………………………………..…………………12七、参考文献………………………………………………………..12八、附录………………………………………..……………………13摘要：在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题，而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。而距离的远近主要取决于铅球出手时的初速度v(米/秒)、出手角度A(度)和出手高度h(米)，运动员自身（高矮，身体情况），铅球，空气阻力等等，它们对铅球投掷距离的远近主次影响是怎样的呢？因为空气阻力，铅球本身等的影响相对比较微小，可以忽略不计，本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学物理模型探讨出手速度v(米/秒)、出手高度h(米)、出手角度A(度)这三个影响铅球投掷水平位移S(m)（成绩）的主要因素，然后运用数值法进行分析，计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度，确定出各影响因素的主次关系，为制定科学的铅球训练计划提供依据。关键词：铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离主次关系投掷距离出手角度一问题的提出3众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩（以国际男子铅球比赛为例）。如图：观察设设设比赛的录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°-45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题：影响铅球投掷远度的因素有哪些？哪些是影响远度的主要因素？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？参考数据资料如下：45°图1：铅球掷远场地4表1我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m)出手速度)/(smv出手角度)(o出手高度)(mh李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黄志红20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95二问题的分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可。由物理知识，运动的合成与分解，分运动与和运动的等时性得：铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。建模过程问题1）：建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？1-1，模型假设众所周知，在实际铅球比赛和训练中，运动员的成绩会受铅球本身，铅球的出手速度、出手角度、出手高度，运动员的身体状况，,g（当地重力加速度），空气阻力，天气等各种因素的作用，忽视上诉各因素的影响，仅仅考虑铅球出手时的初速度v(米/秒)、出手角度A(度)和出手高度h(米)对运动员的成绩（铅球的水平位移S）的影响。铅球在空中运动时所受到的空气阻力很小，可以忽略铅球离手的高度h和铅球投掷初速度v是一定的，出手速度和出手角度无关。2-2定义符号说明5h：人的高度，假设为1.7mh:铅球投掷后的出手高度(m)1h:铅球投掷后在垂直方向上运动到第一次静止时的行进路（m）；2h:铅球投掷后在垂直方向上达到最高点时距离地面的高(m)；v：铅球投掷初速度：速度方向与投掷的水平方向所成角S：下铅球落地点与人的距离g：重力加速度28.9smg1t：当投掷出时间1t后，铅球到达最高点2t：当时间在2t时刻时铅球落地五、模型建立与求解：模型建立与求解1-3.铅球运动轨迹图形以运动员站处为原点O,竖直方向为Y轴，铅球与O点的连线为X轴，建立直角坐标系得:）（tHho1t2tvt61-4，模型的分析图1图2图3图41-5.铅球运动轨迹图形示意可求S：由模拟铅球运动轨迹图形可知，在1t时刻铅球到达最高点，此时竖直方向上的速度为0。【3】gvhvvvv2,sin,cos21直直水7∴1singtv即gvtsin1∴最高点gvhgthtH2sin21)(22211可设该抛物线的方程为gvhgvtatH2sin)sin()(222∵hgvhgvaH2sinsin)0(22222∴2ga∴gvhgvtgtH2sin)sin(2)(222又0)(2tH∴gvgvghtsinsin22222又∵2costvS可得给定出手高度下，下铅球落地点与人的距离SgvgvghvS22sin)22sin(cos2222221-6模型检验：根据参考数据资料，计算测试成绩并与实测成绩作比较，计算误差表2姓名出手速度（m/s）出手高度(m)出手角度（°）实测成绩（m）计算值(m)相对误差（%）李梅素13.1640.272.0219.419.556270.8055李梅素13.5138.69220.320.398050.483017黄志红13.5837.752.0220.7620.531611.100145隋新梅13.95392.0421.6621.678960.087557李梅素14.0835.131.9521.7621.492561.2290498由上表可知相对误差控制在1%左右，所以模型合理。1-7.模型求解由最终式子可以看出，一个人投掷铅球，在能力（即初速度）一定时，所投距离S只与投掷角度有关有关，要看S是否有最大值，即要看S关于的函数式是否有最大值。（因为0S，当然求最小值无意义，故S有极值且为极大值就为S的最大值）式子00SddS0)2sincos82cos2sin22cos2sin(2sincos82cos2sincos812sin22cos2sin2cos22sincos22cos2sin)sin(cos222124222242222242222422222222vghvghvvghvgvgvvghvgghvgvgvgvghvgvgvghvS即02sin22sincos82cos2cos2sin24222ghvghvv2sincos8)2sin2tan2(242222vghvvgh222222cos82sin2tan42tan4ghvghvhg2222cos22sin2tan2tanvvgh2cos)12(cos2cos2sin2sin22222vvgh]2cos2cos2cos)2cos1[(2sin32222vgh2cos)2cos1()2cos1(22vgh2cos)2cos1(2vgh922cosvghgh可得：当2arccos21vghgh时投掷距离最远。1-8.模型结果的图形表示速度v对应的θ的函数由2arccos21vghgh可得速度v对应的θ的函数图像。由图可知，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°。根据以上图可知：不同运动员，最优出手角度不同，即使同一运动员出手速度、出手高度不同最优出手角度也不同，但是基本分布在42°-42.5°之间.所以，由数值法分析可知，铅球运动员的最优出手角度在42°-42.5°之间。104模型的分析6-1.由模型可知，影响铅球投掷远度的主要因素有：出手高度h，出手速度v,出手角度α.问题2如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？2-1忽视空气阻力，运动员的身体素质和心理素质，铅球自身，天气等因素对铅球的影响。铅球由静止到离手这一过程中，将铅球的运动看成匀加速直线运动。即：手对铅球的推力为恒力铅球脱手前，铅球的运动方向与出手方向一致2-2符号定义F:这段过程中手对铅球的推力V:铅球的出手速度M:铅球质量L:这对过程中铅球的位移g:重力加速度：铅球的出手角度2-3模型的建立与求解在这过程中，铅球做的匀加速直线运动，对此过程中的某一点进行受力分析，建立数学模型，其受力分析图如下图所示：由牛顿第二定律：F-mgmasin再由上式得：a=singmF由运动学公式可得：aLv22Fmgsinmg11由上式可得：sin22gLmFLv上式进一步说明了，出手速度v与出手角度有关，随着的增加而减少，模型一出手速度与出手角度相互独立是不合理的。有模型一同理可得到铅球脱手后运动的距离:222222cossin)sin22(cos)sin44(cossin)sin22(),(gmmgLFLmghmgLFLmgmgLFLFS所以运动员不能使初速度达到最大的情况下，关心的出手角度与出手速度同等重要。五．评价方案：本方案中，由于忽略了许多因素，譬如，模型太理想化，忽略空气阻力,天气，人的身体素质和心理状况等因素对运动员成绩的影响，并且由物理理论知识得，铅球在空中运行中会收到空气阻力的影响，因此，此方案不是太完美。六、模型的评价与改进及其建议（1）模型优点：在自身素质一定的条件下，对于给定的出手高度，在出手速度不同时出手角度对掷远结果的影响。根据计算结果，得出结论：当出手角度为)arccos(21vghgh时，掷得最远。（2）模型缺点：只适用于理想条件下，而且要求运动员要有娴熟的投掷技巧，但是，通常情况，推力不一定是恒定的。对于不同的运动员，展臂长度有所不同，因而即使在出手角度和出手速度相同的条件下，投掷距离也有所不同。对于不同的运动员，身体素质有所不同，因而不能排除身高对出手高度的影响，从而影响掷远结果。（3）建议12A．在平时训练中，运动员应加强身体素质和心里素质的训练B，根据运动员的身高应选折最优的出手角度C．在训练中必须通过各种手段，使运动员掌握正确的用力顺序。在最后用力过程中，右腿正确的蹬伸用力，能保证髋部正确的运动，而髋部动作将直接影响着转体和身体侧弓动作的形成。D．多训练一些臂力的训练等七、参考文献：1李建臣阚福林《现代推铅球运动》北京体育大学出版社20072萧树铁：《数学实验》，高等教育出版社3李美霞,严波涛,吴廷