2012届全品高考复习方案新课标北师大版数学(文科)第7讲-二次函数

第7讲│二次函数第7讲二次函数第7讲│知识梳理知识梳理1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：_________________________；(2)顶点式：_________________________；(3)两根式：____________________________.f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)第7讲│知识梳理2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤是(1)f(x)＝____________________；(2)f(x)＝___________________________＝ax＋b2a2＋4ac－b24a.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为__________________，顶点坐标是______________________；当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下．ax2＋bax＋cax＋b2a2－b24a＋c－b2a，4ac－b24ax＝－b2a第7讲│知识梳理3．二次函数的单调性及最值(1)当a＞0时，函数在－∞，－b2a上______，在－b2a，＋∞上______，并且当x＝－b2a时，f(x)min＝________.(2)当a＜0时，函数在－∞，－b2a上______，在－b2a，＋∞上______，当x＝－b2a时，f(x)max＝____________.递减递增4ac－b24a递增递减4ac－b24a第7讲│知识梳理4．根与系数的关系二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两根，则根与系数的关系是____________．弦长|M1M2|＝______＝Δ|a|.x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca|x1－x2|第7讲│知识梳理5．二次函数在闭区间上的最值若a＞0，二次函数f(x)在闭区间[p，q]上的最大值为M，最小值为N.令x0＝12(p＋q)，①若－b2a＜p，则M＝______，N＝______；②若－b2a＞q，则M＝______，N＝______；③若p≤－b2a≤x0，则M＝________，N＝________；④若x0＜－b2a≤q，则M＝________，N＝________.f(q)f(p)f(p)f(q)f(q)f－b2af(p)f－b2a第7讲│知识梳理6．一元二次不等式的解集与二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的关系(1)若a0，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根x1，x2(x1x2)，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为____________________________；不等式ax2＋bx＋c0的解集为__________________．(2)若a0，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实根x0，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为______．(3)若a0，方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为______；不等式ax2＋bx＋c0的解集为______．{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}∅R∅要点探究第7讲│要点探究►探究点1求二次函数的解析式例1知函数y＝f(x)是二次函数，且f－32＋x＝f－32－x，f－32＝49，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，求此二次函数的解析式．[思路]由题意可知二次函数的顶点为－32，49，故利用二次函数的顶点式方程进行求解．第7讲│要点探究[解答]由f－32＋x＝f－32－x知，函数y＝f(x)的图象的对称轴是直线x＝－32，且f－32＝49，所以设f(x)＝ax＋322＋49(a≠0)．设方程ax＋322＋49＝0的两个根为x1，x2，则x1－x2＝2－49a＝7，∴a＝－4，f(x)＝－4x2－12x＋40.第7讲│要点探究[点评]二次函数的解析式有三种形式，分别为一般式，顶点式及两点式．一般情况下，若给出抛物线过某三个点，则选用一般式；若给出对称轴或顶点坐标，则选用顶点式；当给出抛物线与x轴的两交点坐标，一般选用两点式．学会根据题目的条件正确选择函数的解析式，从而简化运算．下面的变式题应该用二次函数的解析式的哪种形式？第7讲│要点探究知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)0；x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R?[思路]根据二次方程的解与二次不等式解集之间的关系即可求出a，b的值，然后根据题目所给的信息，利用待定系数方法求函数的解析式．第7讲│要点探究[解答](1)由x∈(－3,2)时f(x)0，x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0知，－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a0，故－3＋2＝－b－8a，－3×2＝－a－aba，得a＝－3，b＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.第7讲│要点探究(2)由a0知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，∴c≤－2512，∴当c≤－2512时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R.第7讲│要点探究►探究点2区间上的二次函数的最值例2试求二次函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[1,2]上的最小值．[思路]二次函数图象的对称轴为x＝－a，要求函数在区间[1,2]上的最小值就需要看对称轴与[1,2]的位置关系，为此需结合二次函数的图象对a进行分类讨论．第7讲│要点探究[解答]f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2.当－a1，即a－1时，函数在区间[1,2]上为增函数，故此时最小值为f(1)＝2a＋4；当1≤－a≤2，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f(－a)＝－a2＋3；当－a2，即a－2时，函数在区间[1,2]上为减函数，此时最小值为f(2)＝4a＋7.综上可知，当a－2时，最小值为4a＋7；当－2≤a≤－1时，最小值为－a2＋3；当a－1时，最小值为2a＋4.第7讲│要点探究[点评]求二次函数的值域或最值，常用方法是配方法．二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点处取得；如果解析式中含参数，需要对参数进行分类讨论，根据对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的图象利用二次函数的单调性处理．反之，如果知道二次函数的最值，也可以求参数的取值范围，如下面的变式题．第7讲│要点探究已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1上有最大值2，求a的值．[思路]f(x)配方后，得对称轴x＝a是变动的，要区分对称轴x＝a在区间[0,1]内和外，确定f(x)的最大值，从而建立方程解出a.第7讲│要点探究[解答]f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，∵0≤x≤1，∴①当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，解得a＝1±52.∵0≤a≤1，∴a＝1±52舍去；②当a1时，f(x)max＝f(1)＝a＝2＞1成立；③当a0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1＜0成立．综上可得a＝－1或a＝2.第7讲│要点探究►探究点3一元二次方程根的分布问题例３知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．[思路]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．第7讲│要点探究[解答](1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得f＝2m＋10，f－＝20，f＝4m＋20，f＝6m＋50⇒m－12，m∈R，m－12，m－56，∴－56m－12.第7讲│要点探究(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组f00，f10，Δ≥0，0－m1⇒m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0.∴－12m≤1－2.第7讲│要点探究[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系，有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．第7讲│规律总结规律总结1．对二次函数的三种表示形式，要善于运用题目隐含条件，恰当选择不同形式，利用待定系数法求解．2．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程(统称三个二次)是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行转化，是准确迅速解决此类问题的关键．第7讲│规律总结3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解．4．对于一元二次方程实根的分布问题，需要结合二次函数的图象，从三方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点函数值的正负；(3)对称轴与区间端点的关系，这就要求注重数形结合在解题中的应用．第7讲│规律总结5．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布有关的结论：(1)方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小⇔a·f(r)＜0.(2)二次方程f(x)＝0的两根都大于r⇔Δ＝b2－4ac0，－b2ar，a·f（r）0第7讲│规律总结(3)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根⇔Δ＝b2－4ac0，p－b2aq，a·f（q）0，a·f（p）0(4)二次方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)＜0；或f(p)＝0，另一根在(p，q)内；或f(q)＝0，另一根在(p，q)内．