§17.3--方向导数与梯度--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数.§3方向导数与梯度数学分析第十七章多元函数微分学数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定义1设函数0000(,,)(,,)fxyzPxyz在点的某邻域000()()limlimlffPfP记作00000,()(,,).llPffPfxyzl或300()RUPlP内有定义，为从点出发的射线.0Pl则称此极限为函数f在点沿方向的若极限00(,,)(),||PxyzlUPPP记，任给不难看出:若f在点0P存在对x的偏导数，则f在点0P沿x轴正方向的方向导数恰为§3方向导数与梯度方向导数,后退前进目录退出存在,数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社对于yzff与也有相应的结论．当的方向为x轴的负方向时，则有ll沿任一方向的方向导数都存在,0000()()cos()cos()cos,(1)xyzlfPfPfPfPcos,cos,cos其中为的方向余弦．l证设(,,)Pxyz为上任一点，于是有l§3方向导数与梯度00()()();xlfPfPlOx00()()();xlfPfPlOx0P若0000(,,)(,,)fxyzPxyz在点可微，则f在点且数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社上式左、右两边皆除以,并根据(2)式可得000cos,cos,cos.xxxyyyzzz(2)f0P由假设在点可微，则有000()()()()xyfPfPfPxfPy0()().zfPzoxyzO图17–5xyz0PPl§3方向导数与梯度数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社0lim()0,o因为所以上式左边的极限存在:000()lim()()lfPfPfP000()cos()cos()cos.xyzfPfPfP000()cos()cos()cos().xyzfPfPfPo000()()()()xyfPfPfPxfPy0()()zfPzo(,)fxy对于二元函数来说,相应于(1)的结果为,2Rl其中是中向量的方向角．000000(,)(,)cos(,)cos,(2)xylfxyfxyfxy§3方向导数与梯度数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例1230(,,),(1,1,1)fxyzxyzfP设求在点处1(3,1,2).P沿着指向点方向的方向导数解0.fP易见在点可微故由000()1,()2,()3,xyzfPfPfP01(2,2,1)lPP以及的方向余弦0222022cos,32(2)1ppipp000021cos,cos,33ppjppkpppp按公式(1)可求得02211()123.3333lfP§3方向导数与梯度数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社例2设函数21,0,,(,)0,yxxfxy当时其余部分.已知它在原点不连续(当然也点的充分小的一段,都有(0,0)0.lf但在始于原点的l于是由方向导数定义,在原点处沿任何方向§3方向导数与梯度就不可微)．任何射线上,都存在包含原在这一段上f的函数值恒为零.数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社定义2说明(i)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件；(ii)函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件,当然也非充分条件(对此读者应能举出反例)．0000(,,)(,,)fxyzPxyz若在点存在对所有自变量0000grad()((),(),()).xyzfPfPfPfP2220000|grad()|.()()()xyzfPfPfPfP0grad()fP的长度(或模)为§3方向导数与梯度0fP在点的梯度,的偏导数,000((),(),())xyzfPfPfP为函数则称向量记作数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社0(cos,cos,cos),l则方向导数计算公式(1)又可写成0000()grad()|grad()|cos.lfPfPlfP这里是梯度向量0grad()fP与0l的夹角．当0时,0()lfP取得最大值0|grad()|fP.在定理17.6的条件下,若记方向上的单位向量为l§3方向导数与梯度这就是说，当0fP在点可微时,0fP在点的梯度方向因此，是f的值增长最快的方向,且沿这一方向的变化率就是梯度的模;l()与梯度向量反方向而当时，0|grad()|.fP方向导数取得最小值数学分析第十七章多元函数微分学高等教育出版社处的梯度及它的模.解000()1,()3,()3,xyzfPfPfP易得所以0grad()(1,3,3),fP2220|grad()|1(3)(3)19.fP§3方向导数与梯度例3230(,,),(2,1,1)fxyzxyyzfP设试求在点