§18.3--几何应用--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、平面曲线的切线与法线二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线在本节中所讨论的曲线和曲面,由于它们的方程是以隐函数(组)的形式出现的,因此在求它们的切线或切平面时,都要用到隐函数(组)的微分法.§3几何应用数学分析第十八章隐函数定理及其应用*点击以上标题可直接前往对应内容四、*用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社平面曲线的切线与法线曲线L：(,)0;Fxy()(());yyxxxy或条件：上一点,在近旁,F满足000(,)PxyL为0P隐函数定理条件,可确定可微的隐函数:0000()()()xyyyFPFPxx0000()()().yxxxFPFPyy或处的切线方程为：0LP在00()()xyyFPFP由于§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面后退前进目录退出数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社总之,当00((),())(0,0),xyFPFP时就有00:((),());xynFPFP法向量§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面0000()()()()0;(1)xyFPxxFPyy切线方程为0000()()()()0.(2)yxFPxxFPyy法线方程为数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社00((),())xyFPFP15(2)12(1)0,5460;xyxy即02,1P于是在处切线与法线分别为§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面12(2)15(1)0,45130.xyxy即例1求笛卡儿叶形线332()90xyxy0(2,1)P在点处的切线与法线.33(,)2()9.Fxyxyxy解设2269,69xyFxyFyx由于连续，且(15,12)(0,0),数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社22:2220,LAxBxyCyDxEyF0000()AxxByxxyCyy00()()0.DxxEyyF设一般二次曲线为000(,).PxyL0P试证L在点处的切线方程为000()222,xGPAxByD则有22(,)222,GxyAxBxyCyDxEyF令证§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面例2000()222.yGPBxCyE数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社000()()AxByDxx000()()0,BxCyEyy由此得到所求切线为0000()AxxByxxyCyy00()()0.DxxEyyF22000000(222),FAxBxyCyDxEy利用满足曲线L的方程,即00(,)xy整理后便得到§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社空间曲线的切线与法平面先从参数方程表示的曲线开始讨论.(),(),,xxtyytt00000000()().()()()ytxxyyyyxxxtxtyt或在第五章§3已学过,对于平面曲线00000(,)((),())Pxyxtyt若是其上一点,则曲线0P在点处的切线为下面讨论空间曲线.§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(A)用参数方程表示的空间曲线::(),(),(),.Lxxtyytzztt0000000(,,)((),(),()),PxyzxtytztL若且有000000:.(3)()()()xxyyzzxtytzt222000()()()0,xtytzt0P类似于平面曲线的情形,不难求得处的切线为0P过点且垂直于切线的平面,称为曲线L在点处的法平面.0P§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社000000()()()()()()0.(4)xtxxytyyztzz因为切线的方向向量即为法平面的法向量,所以法平面的方程为(,,)0,:(5)(,,)0.FxyzLGxyz(B)用直角坐标方程表示的空间曲线：设近旁具有连续的00000(,,);,PxyzLFGP在点一阶偏导数,且§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社0(,,)(0,0,0),xyyzzxPJJJ(,)(,)(,),,.(,)(,)(,)xyyzzxFGFGFGJJJxyyzzx其中(),(),.xxzyyzzz0()0,xyJP不妨设于是存在隐函数组这也就是曲线L以z作为参数的一个参数方程.根据公式(3),所求切线方程为00000:.()()1xxyyzzxzyz§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社应用隐函数组求导公式,有000()()(),zyxyxzJPJP于是最后求得切线方程为000000:.(6)()()()yzzxxyxxyyzzJPJPJP相应于(3)式的法平面方程则为0000:()()()()yzzxJPxxJPyy00()()0.(7)xyJPzz§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面000()()().xzxyyzJPJP数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社例3求空间曲线:sin,1cos,4sin(2)Lxttytzt在点处的切线和法平面.00(2)Pt对应于解容易求得01,1,22,2P000((),(),())xtytzt(1,1,2).000(1cos,sin,2cos(2))ttt由此得到切线方程和法平面方程分别为22:11;22zxy§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面故切向向量为数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(1)(1)2(22)0,:2xyz24.2xyz即symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])绘制上述空间曲线的程序与所得图形:sin,1cos,4sin(2).xttytzt2t2t2t0t§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社222222:50,Lxyzxyz例4求曲线0(3,4,5)P在点处的切线与法平面.222(,,)50,Fxyzxyz解曲线L是一球面与一圆锥面的交线.令根据公式(6)与(7),需先求出切向向量.为此计算0PF,G在点处的雅可比矩阵:§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面222(,,).Gxyzxyz数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社0xyzPxyzFFFGGG由此得到所需的雅可比行列式:0810()160,810yzJP068()0,68xyJP0106()120.106zxJP§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面02Pxyzxyz6810.6810数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社(160,120,0)(4,3,0),∥故切向向量为据此求得34,43:50,xyz切线:4(3)3(4)0(5)0,xyz法平面§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面34250,5;xyz即430().xyz即平行于轴数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社曲面的切平面与法线00000()()()().xyzzfPxxfPyy以前知道,当f为可微函数时,曲面z=f(x,y)0000(,,)Pxyz在点处的切平面为(,,)0(8)FxyzS现在的新问题是:曲面由方程00000(,,),(,,)PxyzSFxyzP在若点近旁具有连续的一阶偏导数,而且000((),(),())(0,0,0),(9)xyzFPFPFP§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面给出.数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社0()0,zFP不妨设(,).zfxy地确定了连续可微的隐函数000000()()(),(),()()yxxyzzFPFPfPfPFPFP0000000()()()().()()yxzzFPFPzzxxyyFPFP因为S0P所以在处的切平面为又因(9)式中非零元素的不指定性,故切平面方程§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面0P则由方程(8)在点近旁惟一一般应写成数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社000000()()()()()()0.(10)xyzFPxxFPyyFPzz随之又得到所求的法线方程为000000.(11)()()()xyzxxyyzzFPFPFP回顾1现在知道,函数在点P的梯度(,,)Fxyzgrad()()()(),xyzFPFPiFPjFPk其实就是等值面在点P的法向量:(,,)Fxyzc((),(),()).xyznFPFPFP§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社回顾2若把由(5)表示的空间曲线L看作两曲面(,,)0(,,)0FxyzGxyz和的交线(图18－9),0P在的切线与此二曲面在的法线都相垂0P直.方向向量分别是01(,,),xyzPnFFF02(,,),xyzPnGGG1nL0P(,,)0Gxyz(,,)0Fxyz2n图18－9§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面而这两条法线的则L数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社故曲线(4)的切向向量可取的向量积:12nn与这比前面导出(6),(7)两式的过程更为直观,也容易记得住.01(,,),xyzPnFFF02(,,),xyzPnGGG§3几何应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线用参数方程表示的曲面12000000()()()()()()xyzxyzijknnFPFPFPGPGPGP000(,)(,)(,).(,)(,)(,)PPPFGFGFGijkyzzxxy数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社例5求旋转抛物面在点224xyz0(2,4,5)P处的切平面和法线.解令22(,,)4,Fxyzxyz0(2,4,5)(,