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第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)=___________________.cos(α∓β)=____________________.tan(α±β)=_____________.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α=__________.cos2α=___________=___________=____________.tan2α=________.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2tanα1-tan2α3.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ=___________________.(2)cos2α=__________,sin2α=_________.tan(α±β)(1∓tanαtanβ)1+cos2α21-cos2α24.函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数),可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)其中tanφ=ba或f(α)=a2+b2·cos(α-φ)其中tanφ=ab.(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,sinα±cosα=2sinα±π4.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()(3)公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.()(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.()解析(3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠π2+kπ,k∈Z.答案(1)√(2)√(3)×(4)√2.(2016·全国Ⅲ卷)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45B.-15C.15D.45解析cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=45.答案D3.(2015·重庆卷)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ等于()A.17B.16C.57D.56解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)·tanα=12-131+12×13=17,故选A.答案A4.(2017·广州调研)已知sinα+cosα=13,则sin2π4-α=()A.118B.1718C.89D.29解析由sinα+cosα=13两边平方得1+sin2α=19,解得sin2α=-89,所以sin2π4-α=1-cosπ2-2α2=1-sin2α2=1+892=1718,故选B.答案B5.(必修4P137A13(5)改编)sin347°cos148°+sin77°·cos58°=________.解析sin347°cos148°+sin77°cos58°=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58°=(-cos77°)·(-sin58°)+sin77°cos58°=sin58°cos77°+cos58°sin77°=sin(58°+77°)=sin135°=22.答案22考点一三角函数式的化简【例1】(1)(2016·合肥模拟)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=()A.sin(α+2β)B.sinαC.cos(α+2β)D.cosα(2)化简:(1+sinα+cosα)·cosα2-sinα22+2cosα(0απ)=________.解析(1)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.(2)原式=2cos2α2+2sinα2cosα2·cosα2-sinα24cos2α2=cosα2cos2α2-sin2α2cosα2=cosα2cosαcosα2因为0απ,所以0α2π2,所以cosα20,所以原式=cosα.答案(1)D(2)cosα规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】(1)2+2cos8+21-sin8的化简结果是________.(2)化简:2cos4α-2cos2α+122tanπ4-αsin2π4+α=________.解析(1)原式=4cos24+2(sin4-cos4)2=2|cos4|+2|sin4-cos4|,因为54π432π,所以cos40,且sin4cos4,所以原式=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4.(2)原式=12(4cos4α-4cos2α+1)2×sinπ4-αcosπ4-α·cos2π4-α=(2cos2α-1)24sinπ4-αcosπ4-α=cos22α2sinπ2-2α=cos22α2cos2α=12cos2α.答案(1)-2sin4(2)12cos2α考点二三角函数式的求值【例2】(1)[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·2sin280=________.(2)已知cosπ4+α=35,17π12α7π4,则sin2α+2sin2α1-tanα的值为________.(3)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tanβ=-17,则2α-β的值为________.解析(1)原式=2sin50°+sin10°·cos10°+3sin10°cos10°·2sin80°=(2sin50°+2sin10°·12cos10°+32sin10°cos10°)·2cos10°=22[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=22sin(50°+10°)=22×32=6.(2)sin2α+2sin2α1-tanα=2sinαcosα+2sin2α1-sinαcosα=2sinαcosα(cosα+sinα)cosα-sinα=sin2α1+tanα1-tanα=sin2α·tanπ4+α.由17π12α7π4得5π3α+π42π,又cosπ4+α=35,所以sinπ4+α=-45,tanπ4+α=-43.cosα=cosπ4+α-π4=-210,sinα=-7210,sin2α=725.所以sin2α+2sin2α1-tanα=-2875.(3)∵tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12-171+12×17=130,又α∈(0,π),∴0απ2,又∵tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-132=340,∴02απ2,∴tan(2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171-34×17=1.∵tanβ=-170,∴π2βπ,-π2α-β0,∴2α-β=-3π4.答案(1)6(2)-2875(3)-3π4规律方法(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形代入所求式子,化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是0,π2,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦较好.【训练2】(1)4cos50°-tan40°=()A.2B.2+32C.3D.22-1(2)已知sinα+π3+sinα=-435,-π2α0,则cosα的值为________.(3)已知cosα=17,cos(α-β)=1314(0βαπ2),则tan2α=________,β=________.解析(1)原式=4sin40°-sin40°cos40°=4cos40°sin40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2sin(120°-40°)-sin40°cos40°=3cos40°+sin40°-sin40°cos40°=3cos40°cos40°=3,故选C.(2)由sinα+π3+sinα=-435,得32sinα+32cosα=-435,sinα+π6=-45.又-π2α0,所以-π3α+π6π6,于是cosα+π6=35.所以cosα=cosα+π6-π6=33-410.(3)∵cosα=17,0απ2,∴sinα=437,tanα=43,∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-48=-8347.∵0βαπ2,∴0α-βπ2,∴sin(α-β)=3314,∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,∴β=π3.答案(1)C(2)33-410(3)-8347π3考点三三角变换的简单应用【例3】已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sinA,cosA+sinA)与向量q=(sinA-cosA,1+sinA)是共线向量.(1)求角A;(2)求函数y=2sin2B+cosC-3B2的最大值.解(1)因为p,q共线,所以(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(sinA-cosA),则sin2A=34.又A为锐角,所以sinA=32,则A=π3.(2)y=2sin2B+cosC-3B2=2sin2B+cosπ-π3-B-3B2=2sin2B+cosπ3-2B=1-cos2B+12cos2B+32sin2B=32sin2B-12cos2B+1=sin2B-π6+1.因为B∈0,π2,所以2B-π6∈-π6,5π6,所以当2B-π6=π2时,函数y取得最大值,此时B=π3,ymax=2.规律方法解三角函数问题的基本思想是“变换”,通过适当的变换达到由此及彼的目的,变换的基本方向有两种,一种是变换函数的名称,一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】(2017·合肥模拟)已知函数f(x)=(2cos2x-1)·sin2x+12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间;(2)若α∈(0,π),且fα4-π8=22,求tanα+π3的值.解(1)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=
本文标题:2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第5讲两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理
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